Абсолютная, относительная и приведенная погрешность СИ. Аддитивные и мультипликативные погрешности. Погрешности квантования

Разности между реальной и номинальной характеристиками, найденные при заданном значении х в виде

Δy = ур - ун

или при заданном значении у в виде

Δx = Хн - Хр,

суть абсолютные погрешности, так как они выражаются в единицах величин х или у. Знак абсолютной погрешности принимается положительным, если реальная характеристика проходит выше номинальной.

Абсолютная погрешность не может, однако, сама по себе служить показателем точности измерений, так как одно и то же её значение, например

Δx = 0,05 мм при х = 100 мм,

соответствует достаточно высокой точности, а при х = 1 мм – низкой.

Поэтому для характеристики точности результатов измерения вводится понятие относительной погрешности

γ = Δx / x ≈ Δy / у,

выражаемой в относительных единицах или в процентах (х и у – текущие значения входной и выходной величин прибора или преобразователя).

Но эта очень наглядная характеристика точности результата измерения не годится для нормирования погрешности СИ, так как при различных значениях х γ принимает различные значения, вплоть до

γ = ∞ при х = 0.

Поэтому для указания и нормирования погрешности СИ используется еще одна разновидность погрешности, а именно так называемая приведённая погрешность.

Она определяется как отношение абсолютной погрешности, выраженной в единицах входной Δx или выходной Δy величин, к протяжённости диапазона изменения соответственно входной Хк или выходной Yк величины прибора или преобразователя и выражается в относительных единицах или в процентах, т.е.

γпр = Δx / Xк = Δy/ Yк.

Её основное отличие от относительной погрешности состоит в том, что Δx или Δy относится не к переменной текущей величине х или у, а к постоянной величине протяжённости диапазона.

Приведённая погрешность удобна тем, что для многих многопредельных СИ она имеет одно и то же значение как для всех точек каждого поддиапазона, так и для всех его поддиапазонов, т. е. её очень удобно использовать для нормирования свойств СИ.

Понятия абсолютной, относительной и приведенной погрешностей существующими стандартами установлены только для СИ, но их удобно использовать и при характеристике погрешностей результатов измерения.

Широко используемый в математической статистике показатель тесноты группирования экспериментальных точек вокруг определяемой функциональной зависимости в виде коэффициента ρ множественной корреляции по своему смыслу есть полный аналог понятия приведённой погрешности лишь с той разницей, что он отсчитывается "с другой стороны".

Поэтому сумма ρ2 и γ2 равна единице.

Правда, из-за несколько разного определения этих понятий погрешности это соотношение имеет вид

ρ2 + 3γ2 = 1,

т. е.

ρ2 = 1 - 3γ2

или

γ2 = (1 - ρ2) / 3.

Аддитивные и мультипликативные погрешности

Эти термины служат для описания формы границ полосы погрешностей СИ. При поверке или градуировке СИ (будь то прибор, датчик или канал ИИС) получают ряд значений входной величины х и ряд соответствующих им значений выходной величины у.

Если эти данные нанести на график с координатами х и у, то полученные точки разместятся в границах некоторой полосы (рис. 1.2).

В том случае, когда эти точки лежат в границах линий, параллельных друг другу, как это показано на рис. 1.2, а, т. е. абсолютная погрешность СИ во всём его диапазоне измерений ограничена постоянным (не зависящим от текущего значения х) пределом ±Δo, то такая погрешность называется аддитивной, т. е. получаемой путём сложения, или погрешностью нуля.

Это понятие одинаково применимо как к случайным, так и к систематическим погрешностям.

Примерами систематических аддитивных погрешностей являются погрешности от постороннего груза на чашке весов, от неточной установки прибора на нуль перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока и т. п. Для устранения таких погрешностей во многих СИ предусмотрено механическое или электрическое устройство для установки нуля (корректор нуля).

Примерами случайных аддитивных погрешностей являются погрешность от наводки переменной ЭДС на вход прибора, погрешности от тепловых шумов, от трения в опорах подвижной части измерительного механизма, от ненадёжного контакта при измерении сопротивления, погрешность от воздействия порога трогания приборов с ручным или автоматическим уравновешиванием и т. п.

Если же положение границ полосы погрешностей имеет вид, показанный на рис. 1.2, б, т. е. ширина полосы возрастает пропорционально росту входной величины х, а при х = 0 также равна нулю, то такая погрешность называется мультипликативной, т. е. получаемой путём умножения, или погрешностью чувствительности вне зависимости от того, является ли погрешность случайной или систематической.

Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жёсткости мембраны датчика манометра или пружинки прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре и т. д.

Погрешность квантования

Это специфическая разновидность погрешности, возникающая в цифровых приборах и дискретных преобразователях. При плавном изменении входной величины х, например, напряжения в пределах от 0 до 5 мВ, цифровой вольтметр с пределом 1 000 мВ не может дать других показаний, кроме дискретных значений

0 – 1 – 2 – 3 – 4 и 5 мВ.

Поэтому при возрастании х от 0 до 0,5 мВ прибор, если он хорошо отрегулирован, продолжает показывать х = 0.

При превышении значения 0,5 мВ прибор даёт показание х = 1 и сохраняет его до х = 1,5 мВ и т. д.

Поэтому, хотя его номинальной характеристикой мы считаем прямую 1 (рис. 1.3), его реальная характеристика представляет собой ступенчатую кривую 2.

Текущая разность номинальной 1 и реальной 2 характеристик цифрового прибора и составляет погрешность квантования. Границы полосы погрешности квантования показаны на рис. 1.3 штриховыми прямыми, и полоса сохраняет на всём протяжении постоянную ширину, т. е. по форме аналогична полосе погрешностей, представленной на рис. 1.2, а.

Вследствие того, что измеряемая величина х случайным образом может принимать любые промежуточные значения, погрешность квантования также случайным образом принимает значения в интервале от +Δo до -Δo.

Поэтому погрешность квантования является инструментальной случайной аддитивной статической погрешностью, так как не зависит ни от текущего значения результата измерения величины х, ни от скорости изменения х во времени.