Методика складання диференціальних рівнянь

Складання диференціального рівняння по умові завдання (механічною, фізичною, хімічною, технічною або будь-який інший) полягає зазвичай у визначенні математичної залежності між змінними величинами і їх приростами, які відразу ж замінюються відповідними диференціалами.

У ряді випадків диференціальне рівняння виходить без розгляду приросту – за рахунок їх попереднього обліку.

Так, представляючи швидкість виразом ми не використовуємо приростів хоча вони фактично враховані внаслідок того, що

Прискорення у будь-який момент часу t виражається залежністю

Вивчення будь-якого процесу зводиться до визначення його окремих моментів і встановлення загального закону його течії.

Окремий момент процесу (елементарний процес) виражається диференціальним рівнянням, що зв'язує змінні величини процесу з їх диференціалами або похідними; закон загального перебігу процесу, що отримується після інтеграції, виражається рівнянням, що зв'язує змінні величини процесу.

Вичерпних правил для складання диференціальних рівнянь немає.

В більшості випадків методика вирішення прикладних завдань із застосуванням звичайних диференціальних рівнянь зводиться до наступного:

1) докладний розбір умов завдання і складання креслення, що пояснює її

суть;

2) складання диференціального рівняння даного процесу;

3) інтеграція цього рівняння і визначення його загального рішення;

4) визначення часткового рішення задачі на підставі даних початкових умов;

5) визначення в міру необхідності допоміжних параметрів (наприклад, коефіцієнта пропорційності і т. д.) з використанням для цієї мети додаткових умов завдання;

6) виведення загального закону даного процесу і числове визначення шуканих величин;

7) аналіз відповіді і перевірка початкового положення завдання.

Деякі з цих рекомендацій залежно від характеру завдання можуть і не використовуватися.

Як і при складанні алгебраїчних рівнянь, при вирішенні прикладних завдань за допомогою диференціальних рівнянь багато що залежить від навиків, що набувають вправою. Проте тут ще в більшому ступені потрібна винахідливість і глибоке розуміння суті процесів, що вивчаються. Можна робити спрощуючі допущення, наприклад, замінювати існуючий складний (криволінійний) елемент прикладного завдання простішим (прямолінійним), нерівномірний рух матеріальної точки за малий проміжок часу рівномірним, припускати швидкість протікання будь-якого процесу за малий проміжок часу постійної.

Ідея заміни одних нескінченно малих іншими вимагає обов'язкового дотримання еквівалентності замінюючого і замінюваного нескінченно малих елементів. У математичній моделі завдання треба враховувати тільки основні параметри.