Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі

Загальним розв'язком даного диференціального рів­няння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, зна­ченнях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'я­зок у = A sin x + В cos x є загальним, а розв'язок у =cos x - окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'яз­ку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шука­ний окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, на­зивають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умо­вами називається, задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференці­ального рівняння

уy ' +2х=0. (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х² + у² =а² (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 3² + 4² = a ², звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих по­чаткових умов є функція у, задана рівнянням х² + у² =25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку ди­ференціального рівняння відповідає множина всіх інтег­ральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива

х² + у² = 25, а загальним розв'язком x ² + y² = а².

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x² + у² = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді форму­ли. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомо­гою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.