Построение образов и прообразов точек при гомологии

1. Дано: Р р, А, А′, Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА ′): (АВ)∩ р=В₀, (РВ)∩(В₀А ′)= В ′ - образ.

(А ′ С ′)∩ р=С₀, (РС ′)∩(С₀А)= С - прообраз.

в) К (АА ′) → для таких точек вместо точек А и А ′ можно использовать В, В ′ или С, С ′

(см (б)).

г) D_∞ → построение аналогично (б).

2. Дано: Р р, А, А′, Р – коллинеарны.

Простроить образ и прообразы произвольных точек.

а) М р → точки прямой р инвариантны.

б) В, С′ (АА ′): → (АВ)∩ р=В₀, (РВ)∩(В₀А ′)= В ′ - образ.

→ (А ′ С ′)∩ р=С₀, (РС ′)∩(С₀А)= С - прообраз.

в) К (АА ′) → для таких точек вместо точек А и А ′ можно использовать В, В ′ или С, С ′ (см (б)).

г) D_∞ → построение аналогично (б).

Замечание: Построения для параболической гомологии аналогичны построениям для гиперболической гомологии.

Рассмотрим гиперболическую гомологию, пусть Х = (АВ)∩(А′В ′).

При центральном проектировании прямой (АА′) на прямую (ВВ′) с центром Х точки В, В′, В₀ являются центральными проекциями точек А, А′, А₀. Точка Р при этом проектировании является неподвижной (почему?). Тогда по свойствам сложного отношения (РА₀ , АА′)=(РВ₀ ,ВВ′), значит это сложное отношение - величина постоянная.

Обозначим её h =(РА₀ , АА′) - она называется константой гомологии.

Теорема. Для любой прямой р, точки Р р, и любого действительного числа h, отличного от 0 и 1. Существует гиперболическая гомология с центром Р, осью р и константой h.

Доказательство. Дано Р р, h, берем А. А₀= р ∩(АР) - точка единственна. Тогда точка А′ находится из условия h =(РА₀ , АА′) - по свойствам сложного отношения такая точка единственна, причем А′ (РА). По предыдущей теореме существует гомология с осью р, центром Р и А → А′. □

Определение: Гомология называется инволюционной, если она совпадает со своим обратным отображением.

Теорема. Параболическая гомология не может быть инволюционной.

Доказательство. От противного. Пусть Р р.

Так как преобразование - инволюция, то существуют точки А ↔ А ′ и В↔В ′. Тогда прямые (АВ)↔(А ′ В ′) - переходят друг в друга, Q =(АВ)∩(А ′ В ′) р. Прямые (А ′ В)↔(АВ ′) – тоже переходят друг в друга, R =(А ′ В)∩(АВ ′) р.

Но АВА ′ В ′ - четырёхвершинник и Δ РQR – диагональный трёхвершинник, а значит эти точки не могут лежать на одной прямой (оси - р). (противоречие). □

Теорема. Для того чтобы гиперболическая гомология была инволюционной, необходимо и достаточно, чтобы константа h =-1.

Доказательство. Пусть Р р, М → М ′, (ММ ′)∩ р=М₀.

Необходимость h = -1.

Пусть М ′ →М ′′, тогда (РМ₀,ММ ′)= - 1 =(РМ₀,М ′ М) - по свойству сложного отношения,

но (РМ₀, М ′ М)=(РМ₀, М ′′ М ′) - по свойству проективного преобразования М=М ′′ М ↔ М ′.

Достаточность М ↔ М ′.

(РМ₀, ММ ′)= (РМ₀,М ′ М)² = 1 (РМ₀,М ′ М)=± 1.

Но (РМ₀,М ′ М)=1 - не может быть (почему?), (РМ₀,М ′ М) = - 1. □

Вывод: Инволюционная гомология определяется центром и осью.