Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Коллинеация
Определение: Проективное преобразование плоскости называется коллинеацией, если образом точки будет точка, а образом прямой прямая.
Свойства:
1. Сохраняется инцидентность точек и прямых.
2. Сохраняется сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой и четырёх прямых пучка.
3. Композиция коллинеаций, есть коллинеация.
4. Множество коллинеаций образует подгруппу в группе проективных преобразований.
Доказательство. Самостоятельно.
Теорема 1. Пусть А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - упорядоченные четверки точек, в каждой из которых никакие три не лежат на одной прямой. Тогда существует коллинеация φ на проективной плоскости такая, что: φ(А1) = А2, φ(В1) = В2, φ(С1) = С2, φ(D1) = D2.
Доказательство. По аналогии с проективным отображением прямой на прямую, преобразование плоскости можно разложить на композицию не более чем трёх перспектив. Доказательство осуществляется построением. □
Рассмотрим Р2 и два репера, тогда уравнение коллинеации, переводящее точки репера в точки репера единственное и задается формулами (**).
Пусть и (и1: и2: и3) - прямая и∙Х = 0, её образ - f (и) = и ′ (и′1: и′2: и′3) → и′∙Х ′ = 0.
и∙Х = и∙ А-1 ∙ f (Х) = и∙ А-1 ∙ Х ′ = 0 → и∙ А-1 = λ∙ и′ 
μ∙ и = и′∙ А.
Вывод: Формулы коллинеации имеют вид:
Для точек: λ∙ Х ′= А ∙ Х и μ∙ Х = А-1 ∙ Х ′.
Для прямых: и ∙ А-1 = λ∙ и′ μ∙ и = и ′∙ А.
Замечание: Формулы очень похожи на формулы преобразования координат при переходе к другому реперу. Но там координаты одной и той же точки в разных реперах, здесь координаты разных точек (образа и прообраза) в одном репере.
Инварианты коллинеации
Определение: Точка называется неподвижной (инвариантной) точкой проективного преобразования, если она переходит сама в себя.
Определение: Прямая называется неподвижной (инвариантной) прямой проективного преобразования, если она переходит сама в себя.
Определение: Прямая называется точечно неподвижной (точечно инвариантной) прямой проективного преобразования, если каждая точка этой прямой инвариантна.
Нахождение инвариантов коллинеации.
Так как для инвариантных точек λ∙Х = М ∙Х, то они являются собственными векторами матрицы преобразования. Собственные значения находятся из характеристического уравнения
det | М – λ ∙ Е | = 0.
Матрица коллинеации - третьего порядка, а значит, характеристическое уравнение будет кубическим. При решении кубического уравнения возможны случаи:
· 1 случай. λ1, λ2 – комплексные, λ3 – действительные корни.
λ3 – дает одну инвариантную точку и в силу принципа двойственности будет одна инвариантная прямая.
· 2 случай. λ1, λ2, λ3 – различные действительные корни.
Тогда собственные вектора линейно независимы, а значит, существует три инвариантные точки, причем эти точки различны и не лежат на одной прямой. Эти три точки образуют три неподвижные прямые.
· 3 случай. λ1 = λ2 ≠ λ3 – действительные корни.
Пусть r = rang (М – λ 1∙ Е), тогда число линейно независимых векторов в подпространстве решений равно 3 – r.
а) λ1 = λ2 - дают один линейно независимый вектор (r = 2). Тогда будет одна инвариантная точка при λ1 и λ3 – даст вторую инвариантную точку. Таким образом, всего две неподвижные точки, которые образуют неподвижную прямую.
б) λ1 = λ2 - дают два линейно независимых вектора, которые образуют двумерное подпространство решений (r = 1), которое в свою очередь порождает точечно неподвижную прямую. λ3 – дает инвариантную точку не принадлежащую точечно неподвижной прямой.
· 4 случай. λ1 = λ2 = λ3 – действительные корни.
а) r = 1 
один линейно независимый вектор, а значит одна инвариантная точка;
б) r = 2 
два линейно независимых вектора, а значит две инвариантные точки, которые определяют точечно неподвижную прямую;
в) r = 3 - не может быть (почему?).
Собственные вектора находятся из решения системы: (М – λ ∙ Е)· Х = О
Для нахождения инвариантных прямых характеристическое уравнение будет - det | λ ∙ Е – М | = 0, а значит собственные значения те же самые. Собственные вектора находятся из решения системы: и ∙(М – λ ∙ Е) = о.
Задача. Найти инвариантные точки коллинеаций:
а) Уравнение коллинеации 
Решение. Матрица коллинеации 
.
Характеристическое уравнение: 
= 0
(1 - λ)2 ∙(- 1 – λ) = 0, 
λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 1.
При λ 1 = 1 
∙ 
= 
х1 = 2 ∙х3 , 
М1 = 
и М2 = 
.
При λ 1 = 1, rang = 1 
коллинеация имеет точечно неподвижную прямую, проходящую через точки М1 и М2, это прямая - х1 - 2 ∙х3 = 0.
При λ 3 = -1 
∙ = 
М3= 
.
Кроме того инвариантными будут прямые проходящие через точку М3 и любую точку прямой х1 - 2 ∙х3 = 0.
det | λ∙ Е–М |=0 
=0 
λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 1.
При λ 1 = 1 (и1: и2: и3)∙ =(0: 0: 0) 
и (1: 0: 0) и v (0: 1: 0) 
имеем пучок инвариантных прямых (центр пучка - точка М3): λ∙и + μ∙v
При λ 3 = - 1 (и1: и2: и3)∙ 
=(0: 0: 0)
и (1: 0: -2) х1 - 2 ∙х3 = 0 - точечно неподвижная прямая..
б) Матрица коллинеации 
.
Решение.
Характеристическое уравнение 
=0
(λ 2 - 2 λ + 1)∙(- 2 – λ) = 0, λ1 = λ2 = 1, λ3 = - 2.
При λ 1= 1, 
∙ = 
М1 = 
.
При λ 3 = - 2, 
∙ = 
М3= 
.
Задача. Составить уравнение коллинеации, заданной четверками точек
А 
, В 
, С 
, D 
и А′ 
, В′ 
, С′ 
, D′ 
.
Решение. Формулы коллинеации имеют вид: λ∙ Х ′= A ∙Х.
Пусть матрица коллинеации А 
, тогда
λ1∙ А ′= A ∙ А → 
,
λ2∙ В ′= A ∙ В → 
,
λ3∙ С′= A ∙ С → 
,
λ4 ∙ D ′= A ∙ D → 
.
→ 
→
Одно из решений: а =1, b =0, с =3, d =2, f =1, g = -1, т =0, п =1, k = -2,
тогда А 
.
Date: 2015-12-12; view: 1003; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |