Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса

Рассмотрим напряженное состояние поперечного сечения бруса (рис. 3.36).

Рисунок 3.36

Выделим в окрестности произвольной точки с радиусом ρ бесконечно-малый элемент dF. Крутящий момент, возникающий в сечении M_x равен:

(1)

В связи с тем, что между крутящим моментом и касательными напряжениями существует интегральное соотношение, то для вычисления касательных напряжений необходимо определить закон их распределения по поперечному сечению. С этой целью рассмотрим деформацию кольцевого слоя бесконечно малой толщины dρ, выделенного из бруса двумя сечениями, расположенными друг от друга на бесконечно малом расстоянии dx (рис. 3.37а).

Рисунок 3.37

Выделим прямоугольный элемент abcd (рис. 3.37б). Из треугольника abb ':

bb'= dx´tgγ ≈ dx´γ (в силу малости угла сдвига γ), а из треугольника obb':

bb' = ρ´dφ.

Следовательно:

dx´γ = ρ´dφ, откуда

γ = ρ´(dφ/dx)

Воспользуемся законом Гука при сдвиге: τ = G´γ и подставим в него выражение γ, получим:

τ = G´ρ´(dφ/dx)= G´ρ´θ (2)

Величину θ = dφ/dx называют относительным углом закручивания.

Подставим полученное соотношение τ в интегральное выражение (1), получим:

M_x = (3)

Введем обозначение: .

Это выражение является геометрической характеристикой поперечного сечения и называется геометрической жесткостью на кручение и в данном случае совпадает с полярным моментом инерции сечения.

Соотношение (3) принимает вид:

M_x = G´θ´I_кр (4)

Из соотношения (2), относительный угол закручивания θ равен:

θ = τ/(G´ρ).

Подставив выражение θ в соотношение (4), получим, что касательные напряжения равны:

τ = (M_x/I_кр)´ρ

Анализ полученной формулы показывает, что касательные напряжения распределены по линейному закону вдоль радиуса сечения и в любых равноудаленных от центра точках сечения равны по величине τ_A= τ_B (рис. 3.38).

Рисунок 3.38

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках максимально удаленных от центра, т.е. в точках контура сечения:

τ_max = (M_x/I_кр)´(D/2) = M_x/W_кр,

где величину W_кр = I_кр/(D/2) называют моментом сопротивления кручению.