Определение компонент напряжений на наклонной площадке. Круговая диаграмма Мора

По известным значениям главных напряжений σ₁, σ₂, σ₃ определим напряжения действующие на накладной площадке. Пусть на гранях элементарного параллелепипеда задана тройка главных напряжений σ₁ ³ σ₂ ³ σ₃. Необходимо определить напряженное состояние на любой площадке параллельной одному из векторов главных напряжений, в частности, вектору σ₁ (рис. 3.7а). Эта площадка может иметь со смежной гранью произвольный угол α. Выделим отсеченную часть - трехгранную призму, на которую действуют заданные главные напряжения σ₁, σ₂, σ₃, и на наклонной площадке действуют нормальные напряжения σ_α и касательные напряжения τ_α, которые необходимо определить (рис. 3.7б). На рисунке n- внешняя нормаль, приведенная к площадке S, а t -касательная, лежащая в плоскости S и перпендикулярная n.

Рисунок 3.7

Проецируя усилия действующие на призму на оси n и t получим:

Sn = σ_α dx (dy/cosα)- σ₂ sinα dx dy tgα - σ₃ cosα dx dy =0,

St = τ_α dx (dy/cosα)+σ₂ cosα dx dy tgα - σ₃ sinα dx dy =0,

откуда:

σ_α= σ₂ sin²α+ σ₃ cos² α

τ_α = (σ₂- σ₃) sinα cosα

Преобразуем полученные соотношения к виду:

Этим выражением можно дать геометрическое толкование. Перемещая в левую часть, возводя левые и правые части выражений в квадрат и складывая, получим:

Это уравнение окружности в системе координат «σ-τ» (рис. 3.8).

Рисунок 3.8

Центр окружности находится на оси абсцисс на расстоянии от начала координат с радиусом . Окружность называют круговой диаграммой Мора. Полученное уравнение окружности может быть истолковано, как параметрическое уравнение окружности, где роль параметра играет угол α наклона плоскости S. Каждой секущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора. Показанная на рисунке 3.8 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору σ₁.

Рисунок 3.9

Аналогичным способом можно построить круги Мора для семейств площадок, параллельных векторам σ₂, σ₃. В этих случаях круги строятся соответственно на отрезках «σ₂‑σ₃» и «σ₁‑σ₂», как на диаметрах. Таким образом, может быть построено три круга Мора (рис. 3.9). Поскольку знак τ не оговаривается, ограничиваются обычно построением только верхней части круга.