Потенциальная энергия деформации

Рассмотрим элементарный объем dx, dy, dz, по граням которого действуют все компоненты напряжений σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz (рис. 3.16).

Потенциальная энергия dU, накопленная в элементарном объеме, в соответсвии с приципом независимости действия сил, определяется суммой работ dA_i сил, распределенных по поверхности этого объема:

dU =

Рисунок 3.16

Нормальная сила σ_x dy dz совершает работу на перемещении ε_x dx. Так как перемещение линейно зависит от величины силы (рис. 3.17), то ее работу можно вычислить как площадь заштрихованного треугольника:

Рисунок 3.17

Аналогичные выражения можно получить и для остальных нормальных сил.

Для определения работы, выполняемой касательными силами, рассмотрим деформирование элементарного параллелепипеда в условиях чистого сдвига (рис. 3.18).

Рисунок 3.18

Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила τ_yz dx dz совершает работу на перемещении γ_yz dy. Так как перемещение линейно зависит от величины силы, то ее работу можно вычислить:

Аналогичные выражения можно получить и для остальных касательных сил.

Просуммировав работы всех компонент напряжений, получим потенциальную энергию, накопленную в элементарном объеме:

dU = ½ dx dy dz (σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_yz γ_yz+ τ_yx γ_yx + τ_zx γ_zx)

Часто энергию относят к единичному объему, т.е. рассматривают куб единичных размеров. В этом случае потенциальная энергия U₀:

U₀ = ½(σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_yz γ_yz+ τ_yx γ_yx + τ_zx γ_zx)

Воспользуемся обобщенным законом Гука и подставим деформации, выраженные через напряжения, получим окончательно:

U₀ = (1/(2E)) [σ_x²+σ_y²+σ_z²-2μ (σ_xσ_y+σ_xσ_z+σ_yσ_z )]+(1/(2G)) (τ_yz²+τ_yx²+τ_zx²), (1)

или в главных напряжениях:

U₀ = (1/(2E)) [(σ₁² + σ₂²+ σ₃²) - 2μ (σ₁ σ₂ + σ₁ σ₃ + σ₂ σ₃ )] (2)

Для того чтобы получить потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение U₀ следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: