Обобщенный закон Гука

Между компонентами напряженного состояния, с одной стороны и деформированного ‑ с другой существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Запишем закон Гука для объемного напряженного состояния для изотропного тела (без учета температур). В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряжений и деформаций не зависят от ориентации осей в точке. Кроме того деформации от каждой из компонент напряжений не влияют друг на друга. Поэтому чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда. Для этого рассмотрим единичный параллелепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения (рис. 3.5).

Рисунок 3.5

Экспериментально установлено, что при упругих деформациях для одноосного напряженного состояния (s₁≠0, s₂=0, s₃=0) существует линейная зависимость между линейной деформацией и нормальным напряжением (закон Гука):

, где

E – модуль упругости, или модуль Юнга;

s₁ – нормальное напряжение;

ε₁ = линейная относительная деформация.

Одновременно с линейной деформацией ε₁ в перпендикулярных направлениях возникают деформации ε₂, ε₃:

, где

μ – коэффициент Пуассона.

На основании принципа независимости действия сил, можно записать, что деформация в направлении σ₁ при суммарном действии напряжений σ₁, σ₂ и σ₃:

, где

Следовательно:

(1)

Таким образом, при всестороннем растяжении деформации вызванные напряжениями σ₂ и σ₃ за счет эффекта Пуассона уменьшают деформацию вызванную σ₁. Аналогично:

(2)

(3)

Экспериментально также установлено, что при чистом сдвиге существует линейная зависимость между угловой деформацией и касательным напряжением:

, где

γ - угол сдвига,

τ – касательное напряжение,

G - модуль сдвига, или модуль упругости второго рода.

Предполагая, что для объемного напряженного состояния при сдвиге компоненты напряжений не влияют друг на друга, тогда по аналогии с простым случаем чистого сдвига можно записать:

(4)

, где

γ_xy, γ_xz, γ_yz - углы сдвига.

Зависимости деформаций от напряжений (1-4) носят название обобщенного закона Гука, или закона Гука для объемного напряженного состояния.

Если сложить левые и правые части зависимостей (1-3) получим значение объемной деформации е=ε₁ +ε₂ +ε₃:

В случае равномерного всестороннего растяжения, т.е. при σ₁=σ₂=σ₃=p:

Из анализа полученной зависимости видно, что при p >0 только при μ ≤0,5 объемная деформация e >0. Следовательно, значение μ для изотропного материала не может превышать 0,5.