Напряжения в поперечных сечениях бруса

Методом сечений определяют равнодействующую всех внешних усилий действующих в сечении, а именно нормальное усилие N. Однако остается неизвестным закон распределения внутренних усилий по сечению. Если на поверхность бруса нанести систему поперечных полос и приложить продольное усилие P, то можно заметить, что на некотором расстоянии от торцов бруса поперечные линии переместятся параллельно самим себе (рис. 3.20).

Рисунок 3.20

Это подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), которая заключается в следующем: сечения плоские и перпендикулярные к оси бруса до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса и после деформации. Установив, что все продольные волокна равноудлинились, мы тем самым можем утверждать, что при растяжении нормальные напряжения равномерно распределены по всей площади поперечного сечения и могут быть определены по формуле:

s=N/F, где

N - нормальное усилие, возникающее в рассматриваемом сечении бруса;

F - площадь поперечного сечения перпендикулярного к оси бруса.

Правило знаков для продольных напряжений принимается то же, что и для продольной силы: растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие- отрицательными. Рассмотрим, какие возникают напряжения в сечении бруса, наклоненном под углом к поперечному сечению (рис. 3.21).

Рисунок 3.21

Проведем через точку K сечение, наклоненное к поперечному сечению под углом a и отбросим правую часть, заменив ее действие напряжениями p_a, которые дают равнодействующую P. Напряжение, возникающее в данной точке наклонного сечения равно:

s_a=P/F_a, где

F_a - площадь наклонного сечения.

Разложим напряжение p_a на две составляющие: нормальное напряжение s_a и касательное напряжение t_a:

s_a =p_a cosa,

t_a =p_a sina

Учитывая, что F_a =F/cosa, тогда

p_a=(P/F) cosa=s cosa, где

s - нормальное напряжение в поперечном сечении F.

Подставим выражение s в соотношения s_a и t_a получим:

s_a =s cos²a,

Проведем анализ полученных соотношений.

1. При a =0: s_a =s, t_a =0, т.е в поперечном сечении возникают максимальные нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю.

2. При a = 45°: s_a = s/2, t_a =s/2, т.е. в сечении, наклоненном под углом 45° к поперечному сечению, возникают максимальные касательные t_max = s/2 и нормальные напряжения s_a =s/2.

3. При a = 90°: s_a = 0, t_a = 0, т.е. в продольных сечениях напряжения отсутствуют.

4. Подставим в формулу выражение a = a+p/2, тогда:

Следовательно:

t_a = - t_a+p/2.

Полученное соотношение называют законом парности касательных напряжений, который можно сформулировать следующим образом: на взаимно ортогональных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине и «обратны» по направлению, т.е. направлены либо в сторону линии пересечения площадок, либо от нее.

5. Подставим в формулу s_a = s cos²a выражение cos²a = (1+cos2a)/2, тогда:

Возведем в квадрат левые и правые части и сложим их. После преобразований получим:

Полученное соотношение является уравнением окружности в координатах «t_a - s_a» с центром на оси абсцисс с координатой - s/2 и радиусом - s/2. Эта окружность носит название круга Мора (рис. 3.22).

Рисунок 3.22

Вычислим координаты точки A, расположенной на окружности и радиусе, проведенном под углом 2a к оси абсцисс:

Следовательно, координаты точки A определяют компоненты напряжений на площадке наклоненной под углом a к поперечному сечению.

Пример 3.2

Вычислить нормальные напряжения в цилиндре амортизационной стойки шасси самолета, если давление воздуха в амортизаторе на стоянке Δp, а внутренний диаметр цилиндра d при толщине стенки t (рис. 3.23а).

Рисунок 3.23

Решение.

В стояночном положении вес самолета уравновешивается давлением воздуха, передается на стойку и не сжимает цилиндр. Применив метод сечений, поперечным сечением рассечем цилиндр, выделим верхнюю часть (рис.3.23б) и для нее запишем уравнение равновесия:

Откуда продольные напряжения s_пр:

Продольным сечением рассечем цилиндр и выделим левую часть (рис. 3.23в), для которой запишем уравнение равновесия:

Откуда кольцевые напряжения s_к:

s_к