Кинематика частицы

Рис. 1

«Пример 1.1. Концы отрезка длиной l скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым OX и OY (рис. 1). Найти траекторию, скорость и ускорение точки M, находящейся на расстоянии a от верхнего на рисунке 1 конца отрезка. Угол j изменяется с течением времени по закону j = w t.

Решение.

Решение сводится к применению кинематических соотношений для точки M. Удобно использовать декартовы координаты x и y точки M (рис. 1).

Рис. 2

Для записи кинематических уравнений эти координаты нужно выразить через угол j, зависимость которого от t задана:

x = a cos j; y = (l – a) sin j.

Получим:

x = a cos (w t); (1.1)

y = (l – a) sin (w t). (1.2)

Чтобы найти траекторию, следует из кинематических уравнений (1.1) и (1.2) исключить параметр t:

. (1.3)

Траектория имеет вид эллипса с полуосями a и l – a. Он изображен на рисунке 2.

Проекции скорости находятся дифференцированием (1.1) и (1.2):

= – a w sin (w t), (1.4)

= (l – a) cos (w t). (1.5)

При 0 < w t < p / 2 проекция скорости < 0, а > 0. Это соответствует направлению скорости, показанному на рисунке 2. Модуль скорости

v = = w . (1.6)

Дифференцируя (1.4) и (1.5) и сравнивая результаты с (1.1) и (1.2), получим для проекций ускорения:

w_x = = – w² x, (1.7)

w_y = = – w² y. (1.8)

Видно, что проекции ускорения отличаются от проекций вектора (рис. 2) множителем w². Это определяет показанное на рисунке 2 направление вектора . Модуль ускорения

w = = w² = w² r. (1.9)

«Пример 1.2. Найти траекторию, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол a между направлением скорости и направлением на некоторый пункт О (рис. 3). В начальный момент расстояние r корабля от пункта О равно r₀.

Рис. 3

Решение.

При решении этой кинематической задачи удобно использовать полярные координаты r и j (рис. 3). В этих координатах скорость определяется формулой

= + r . (1.10)

Здесь и единичные орты, соответствующие полярным координатам.

Проекция скорости на направление , то есть = может быть выражена через фиксированный угол a:

= – v cos a = – cos a. (1.11)

Уравнение (1.11) содержит в неявном виде искомую зависимость r от j. Возведя это уравнение в квадрат, получим:

sin² a = r² cos² a. (1.12)

Теперь можно извлечь квадратный корень и умножить полученное равенство на величину dt, которая не равна нулю:

dr = – dj r ctg a. (1.13)

В выражении (1.13) оставлен лишь один из двух знаков, получающихся при извлечении квадратного корня. Именно этот знак обеспечивает уменьшение r при положительных dj и ctg a, как это должно быть в соответствии с исходными формулами (1.11) и (1.10).

Остается проинтегрировать уравнение (1.13) при начальном условии r|_j=0 = r₀:

r = r₀ exp (–j ctg a). (1.14)

Это и есть искомое уравнение траектории. При a = p / 2 траектория – окружность с радиусом r₀ и с центром в точке О. При a > p / 2 величина r возрастает с ростом j – получается раскручивающаяся логарифмическая спираль. При a = 0 или a = p угол j может быть равным только нулю – корабль движется по прямой, соединяющей его с пунктом О.

Рис. 4

«Пример 1.3. На проволочной окружности надето колечко M. Через него проходит стержень OA (рис. 4), который вращается вокруг точки О с угловым ускорением k cos j (k – постоянная величина). Определить скорость и ускорение колечка М как функцию угла j. В начальный момент (t = 0) угол j и угловая скорость стержня равнялись нулю. Радиус окружности – r, 0 £ j £ p.

Решение.

Поскольку траектория, по которой движется колечко, известна – окружность, то целесообразно воспользоваться траекторным методом описания движения частицы.

В качестве траекторной координаты возьмем путь, проходимым колечком. Выразим этот путь через угол j (рис. 4):

S = r a = r (p – 2 (p / 2 – j)) = r 2 j. (1.15)

Скорость колечка находится дифференцированием (1.15):

v = = 2 r = 2 r . (1.16)

Величину можно определить из заданного в задаче углового ускорения:

= k cos j. (1.17)

Преобразуем левую часть последнего уравнения следующим образом:

= = .

После этого уравнение (1.17) легко интегрируется:

= Þ = ± .

Следует оставить лишь знак «+», так как по условию задачи угол j увеличивается. После подстановки последнего выражения в (1.16) получим

v = 2 r . (1.18)

Ускорение колечка имеет две составляющие _n и _t. Поэтому

w = . (1.19)

Обе составляющие ускорения могут быть найдены с помощью формул (1.18) и (1.16):

w_n = v² / r = 8 r k sin j,

w_t = = 2 r = 2 r k cos j.

Подставляя найденные значения в (1.19), получим ответ:

w = 2 k r .