Задачи для самостоятельного решения. · Задача 3.1.С поверхности Земли вертикально вверх брошено тело со скоростью v0

· Задача 3.1. С поверхности Земли вертикально вверх брошено тело со скоростью v₀. Определить, с какой скоростью v₁ оно упадет обратно на Землю, если сила сопротивления воздуха F_c = m k v², где m – масса тела, v – скорость, k – постоянная.

Ответ: v₁ = .

· Задача 3.2. Маленький шарик массой m движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности лежащей горизонтально трубы радиусом r. В начальный момент шарик находился в одной горизонтальной плоскости с осью трубы и был отпущен без толчка. Пренебрегая трением, определить скорость v шарика и силу реакции F поверхности трубы в тот момент, когда прямая, соединяющая шарик с центром траектории, образует угол j с вертикалью.

Ответы: v = ; F = 3 m g cos j.

· Задача 3.3. Шарик массой m закреплен на конце упругого стержня и движется согласно уравнениям: x = a cos (k t), y = b sin (k t), где k, a и b – постоянные (рис. 24). Определить силу , с которой стержень действует на шарик. Отклонение от положения равновесия, то есть модуль радиус-вектора , (рис. 24), считать малым.

Ответ: = – k² m .

· Задача 3.4. Автомобиль, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющей собой дугу окружности радиуса R = 100 м. Описав дугу величиной j = 30⁰, дорога становится прямолинейной. С какой максимальной скоростью v автомобиль может выехать на прямолинейный участок дороги, если коэффициент трения колес об асфальт
m = 0,30.

Ответ: v = » 53 км/ч.

Рис.24

· Задача 3.5. Частица массой m движется по эллипсу

x² / a ² + y² / b² = 1.

Ускорение параллельно оси y. В начальный момент времени частица находилась в точке с координатами x = 0 и y = b, двигаясь со скоростью v₀. Определить силу , приложенную к частице в каждой точке ее траектории.

Ответ: Проекция искомой силы на ось x равна нулю, а на ось y она принимает значение F_Y = – m v₀² b⁴ / (a ² y³).

· Задача 3.6 Ш. На концах нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два тела массой по m =240 г каждый. Какой добавочный груз m₁ надо положить на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время t = 4 с путь s = 160 см?

Ответ: m₁ = 4 m s / (g t² – 2 s)» 10 г.

· Задача 3.7 *). Пылинка массой m и зарядом q помещена в заряженный конденсатор. Напряженность поля конденсатора изменяется со временем по закону E = E₀ exp (–a t). Пренебрегая силой тяжести, найти кинематическое уравнение движения пылинки при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности – k). Координатная ось x направлена перпендикулярно пластинам. В начальный момент времени частица неподвижна и находится в начале координат.

Ответ:

x = (1 – exp (–k t / m)) – (1 – exp (–a t)).

· Задача 3.8 К. Исследовать с помощью компьютера (файл «Ballist») временную зависимость вертикальной проекции скорости частицы, движущейся вблизи поверхности Земли, при k / m = 0,01; 0,1; 0,2;
0,5; 1. Здесь k – коэффициент сопротивления, а m – масса частицы.

Указания.

1). Искомая зависимость описывается формулой (3.6).

2). v₀ sin a = 10 м/с; 0 £ t £ 20 с.

Задания.

1). Объяснить качественно наблюдаемые временные зависимости проекции скорости и ускорения (смотри (3.4)). Нарисовать в одном масштабе семейство графиков проекций скорости.

2). Найти предельные значения величины при различных параметрах k / m. Результаты представить в виде таблицы.

3). В какие моменты и почему величина = – g?

· Задача 3.9 К. Исследовать с помощью компьютера (файл «Ballist») траекторию движения частицы в однородном поле тяжести с учетом сопротивления воздуха.

Указания.

1).Уравнения движения имеют вид (3.7) и (3.8).

2). V₀ = 20 м/с, a = 45⁰, k / m = 0,01; 0,5; 0,1.

Задания.

1). Найти для каждого параметра k / m величины t, y и z, соответствующие значениям z = z_max и z = 0.

Результаты представить в виде таблицы.

2). Зарисовать траектории на одном рисунке в одном масштабе.

3). При каких углах a дальность полета максимальна?

4). Что длится дольше – подъем или падение? На каком из этих этапов движения частица дальше смещается в горизонтальном направлении?

· Задача 3.10 Ш. С какой скоростью v может ехать мотоциклист по горизонтальной дороге, описывая дугу радиусом R = 100 м, если коэффициент трения колес о дорогу m = 0,4? На какой угол a от вертикального положения он при этом должен отклоняться?

Ответы: v £ » 20 м/с, a = arctg (v² / R g) £ arctg m» 20.

Рис. 25

· Задача 3.11 Ш. Гирька массой m = 100 г, подвешенная на нити длиной l = 40 см, колеблется в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения F в тот момент времени, когда угол отклонения составляет a = 60⁰, а скорость гирьки v = 2 м/с.

Ответ: F = m v² / R + m g cos a» 1,5 Н.

· Задача 3.12 Ш. Найти ускорения и тел массами m₁ и m₂, а также силу натяжения нити F в системе, показанной на рисунке 25. Блоки и нити считать невесомыми, трением пренебречь.

Ответы:

= , = – / 2; F = .

· Задача 3.13 Ш. Определить ускорение a тел в системе, показанной на рисунке 26. Коэффициент трения m между телом m₁ и плоскостью равен 0,10. Масса m₁ = 1,5 кг, m₂ = 0,50 кг, сила F = 10 Н. Угол a между силой и горизонтальной плоскостью равен 30⁰.

Ответ: a = » 1,4 м/с² .

Рис.26

· Задача 3.14 Ш. По наклонной дороге с углом наклона a = 30⁰ к горизонту опускается вагонетка массой m = 500 кг, удерживаемая канатом, параллельным дороге. Определить силу натяжения каната при торможении вагонетки в конце спуска, если ее скорость перед торможением была v₀ = 2,0 м/с, а время торможения t = 5,0 с. Коэффициент трения принять равным m = 0,010.

Ответ:

F = m (g sin a – m g cos a + v₀ / t)» 2,6 кН.

· Задача 3.15. Движение частицы массой m по прямой линии, принятой за координатную ось x, задано уравнением x = a ln (1 + v₀ t / a), где a и v₀ – постоянные. Определить проекцию F_X силы, действующей на частицу, как функцию времени t и как функцию скорости v.

Ответ: F_X = – m a v₀² / (a + v₀ t)² = – m v₀² / a.

· Задача 3.16. Движение частицы массой m происходит по окружности радиусом r согласно уравнению s = r exp (2 t), где s – путь, пройденный частицей за время t. Определить силу, приложенную к частице, как функцию времени.

Ответ: F = 4 m r exp (2 t) .

· Задача 3.17. Электромотор массой M установлен на горизонтальном фундаменте. Центр масс ротора не лежит на оси вращения, а смещен от нее на расстояние r. Ротор вращается с постоянной угловой скоростью w и имеет массу m. Определить, в каких пределах меняется сила F давления мотора на фундамент.

Ответ: (M +m) g – m w² r £ F £ (M +m) g + m w² r.

· Задача 3.18. Частица массой m движется прямолинейно под действием силы, проекция которой на направление движения изменяется со временем t по закону F = F₀ cos (w t), где F₀ и w – постоянные величины. Скорость частицы в начальный момент времени была равна v₀. Найти уравнение движения частицы.

Ответ: Координата частицы x = v₀ t + F₀ (1 – cos (w t)) / (m w²).

· Задача 3.19. Планеру массой m сообщили скорость v₀, после чего он движется в свободном полете горизонтально, испытывая сопротивление воздуха F = k v, где v – скорость планера, а k – коэффициент сопротивления. Какое расстояние s пролетит планер за время t?

Ответ: s = m v₀ (1 – exp (–k t / m)) / k.

· Задача 3.20 K*). Груз массой m = 100 г, подвешенный к концу пружины жесткостью c = 19,6 Н/м, сместили из положения равновесии на расстояние x₀ = 10 мм и отпустили, сообщив ему скорость v₀ = 0,50 м/c в направлении, противоположном смещению. Найти зависимость координаты груза x от времени t, если сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Координаты груза отсчитываются от положения равновесия в вертикальном направлении. Проанализировать движение при двух различных коэффициентах сопротивления: a = 1,5 Н/м и a = 3,5 Н/м. Можно воспользоваться файлами «DXDT2» и «F(X)». Результаты следует представить в виде графиков с указанием координат характерных точек.

Ответы: При a = 1,5 кинематическое уравнение можно представить в виде x(t) = A exp(–b t) cos(w t +j₀), где A = 0,0373, 2b = a / m, w² =
½c / m - b²½, j₀ =1,299; характерные точки: x(0,022) = 0 и x(0,108) = – 0,0140. При a = 3,5 кинематическое уравнение можно представить в виде

x(t) = exp(–b t) (B exp(w t) + C exp(–w t)), где B = –0,01048, С = 0,02048; характерные точки: x(0,032) = 0 и x(0,048) = – 0,0396.

· Задача 3.21 Ш*). На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом r и, толкнув, его закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости w кольцо будет устойчиво вращаться, не падая? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен m.

Ответ: w = .