Импульс. Закон сохранения импульса

l В соответствии с теоремой Нётер докажем, что инвариантность уравнений Лагранжа относительно пространственного сдвига (замена всех _i на _i + D , где D = const) ведет к существованию векторной сохраняющейся величины – импульса.

Рассматриваемую систему N частиц можно считать свободной, если учитывать все силы, приложенные к частицам, включая силы реакции. В качестве обобщенных координат тогда нужно брать координаты (или радиус-векторы _i) каждой частицы. Обобщенными силами Q_j’ станут проекции сил _i’, действующих на каждую частицу. Уравнения Лагранжа примут вид:

– = _i’, i = 1, 2, …, N. (11.1)

Если в лагранжиан не включать внешнюю потенциальную функцию, то величины _i’ представляют все внешние силы и внутренние непотенциальные.

Пусть при неизменных внешних условиях лагранжиан рассматриваемой системы не меняется, то есть

i ® i+ D

Это условие обеспечивает инвариантность уравнений Лагранжа относительно пространственного сдвига, то есть однородность пространства.

В самом деле, пространственный сдвиг не повлияет на правые части уравнений (11.1), так как система должна оставаться в неизменных условиях. Левые части, вследствие соотношения D = const, также сохранят свой вид, если только не изменится L (то есть будет справедливым равенство (11.2)). Так что уравнения Лагранжа не изменятся – они инвариантны относительно пространственного сдвига.

Представив d L в виде

dL = d _i + d _i

и учтя, что d _i = D , а d _i = 0, получим из (11.2) уравнение

= 0. (11.3)

С помощью (11.1) уравнение (11.3) можно привести к виду

= . (11.4)

Величину

_i = = = = m_{i i} (11.5)

называют импульсом частицы, а

_i = = (11.6)

– импульсом системы частиц.

Из-за третьего закона Ньютона входящая в правую часть (11.4) сумма внутренних (непотенциальных) сил равна нулю. Остается лишь сумма внешних сил:

= . (11.7)

Эту сумму называют главным вектором внешних сил.

Подстановка (11.5), (11.6) и (11.7) в (11.4) приводит к закону изменения импульса системы:

= , или d = dt, (11.8)

то есть малое изменение импульса системы равно произведению главного вектора внешних сил на время изменения импульса.

l Импульс системы (11.6) можно выразить через массу системы M = и скорость движения ее центра масс (центра инерции):

= M _C, (11.9)

где _C – радиус-вектор центра масс, определяемый формулой (9.3).

Объединяя (11.9) и (11.8), получим теорему о движении центра масс:

M = . (11.10)

Соотношения (11.9) и (11.10) вскрывают точный смысл того свойства центра масс, которое часто выражают словами «в центре масс как бы сосредоточена вся масса тела». Имеется в виду, что моделируя систему точкой (центром масс), в которой сосредоточена вся масса системы, можно просто и правильно рассчитать импульс системы и движение этой точки.

C Некоторые важные положения