Некоторые важные положения

« Фокальный параметр p и эксцентриситет орбиты определяются осевым моментом импульса L_Z и энергией частицы E, которые являются интегралами движения:

p = , (16.8)

e = . (16.9)

« В случае эллиптической траектории большая полуось a зависит от энергии частицы E:

a = , (16.10)

а меньшая полуось b – еще и от осевого момента импульса L_Z:

b = . (16.11)

« Период обращения T по эллиптической орбите может быть вычислен по формуле

T = 2 p . (16.12)

Отсюда следует третий закон Кеплера – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей орбит и не зависят от масс планет:

T² ~ a³. (16.13)

Третий закон Кеплера получается из (16.12) приближенно, если пренебречь массой планеты по сравнению с массой Солнца. Более точно период обращения планеты зависит не только от большей полуоси a₂ орбиты, но и от массы m планеты:

T = 2 p . (16.14)

Здесь M – масса Солнца, G – гравитационная постоянная.

« Круговая скорость v_К может быть вычислена по формуле

v_К = , (16.15)

где r – радиус орбиты.

Параболическая скорость v_П в раз больше:

v_П = v_К = . (16.16)

Формулы (16.15) и (16.16) позволяют найти первую v₁ и вторую v₂ космические скорости:

v₁ = = ; v₂ = v₁ . (16.17)

В выражениях (16.17) M – масса Земли, R – ее радиус, g – ускорение свободного падения.

? Задания и контрольные вопросы

1. Какие системы описывает задача Кеплера? Чем обусловлено ее название?

2*. Выведите уравнение (16.2).

3. Объясните происхождение формул (16.5) и (16.6).

4*. Расскажите об асимптотах и предельном угле.

5*. Нарисуйте траекторию движения m-точки вблизи отталкивающего цента.

6*. Выведите формулу (16.3).

7*. Выведите формулу (16.10).

8*. Выведите формулу (16.11).

9*. Найдите энергию системы «Земля – искусственный спутник, вращающийся по круговой орбите радиуса r», опираясь только на материал школьного курса физики. Проверьте ответ посредством формулы (16.10).

10*. Выведите формулу (16.12).

11. Расскажите о третьем законе Кеплера.

12. Для каких систем целесообразно применять формулу (16.14)?

13. Расскажите о круговой и первой космической скоростях.

14*. Выведите формулу (16.15).

15. Выведите формулу для первой космической скорости, опираясь только на материал школьного курса физики.

16. Расскажите о параболической и второй космической скоростях.

17*.Выведите формулу (16.16).