Анализ переходных процессов в цепях первого порядка при ЭДС вида ступенчатой функции

Переходные процессы в последовательной RC-цепи при скачкообразном изменении ЭДС

Рассмотрим переходные процессы в последовательной RC -цепи (рис. 9.1.) при скачкообразном изменении ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения:

Рис. 9.1. Последовательная RC-цепь

Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное условие

u_C(0₊) = u_C(0_-) = Е₁. (9.9)

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи целесообразно составить уравнение относительно напряжения на ёмкости.

Системы уравнений электрического равновесия цепи при t ³ 0

Исключая все неизвестные величины, кроме u_C, получаем

Напряжение на емкости при t ³ 0 представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих

u_C = u_Спр+ u_Ссв. (9.10)

Установившееся значение напряжения на емкости будет равно напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости

u_Cпр = E₂ (9.11)

Характеристическое уравнение цепи

RC_P + 1=0

имеет единственный корень

p₁ = -1/(RC) = -1/τ_C,

где τ_С = RC - постоянная времени последовательной RC - цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости u_Cсв содержит один экспоненциальный член

(9.12)

Используя выражения (9.10), (9.11) и (9.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях

(9.13)

Для определения постоянной интегрирования А₁ воспользуемся независимым начальным условием (9.9). Полагая в (9.13) t = 0, u_C = u_C(0₊) = E₁, получаем

Е₁==Е₂+А₁,

откуда

А₁ = Е₁ - Е₂.

Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации (t ³ 0) определяется выражением

(9.14)

Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Е₁ и Е₂ показана на рис. 9.2. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости i_C, которая при t ³ 0 определяется путем дифференцирования выражения (9.14) по времени и умножения результата на С:

(9.15)

Как видно из рисунка, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установившемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения, а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю.

I_C(0₊) = (E₂ - E₁)/R, (9.16)

. В связи с тем, что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.

Скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значения ЭДС идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи τ_С, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в е»2,718 раз. Можно показать, что при любом t ³ 0

Для определения постоянной времени цепи по графику к кривым i_Ссв или u_Ссв удобно проводить касательную при t₁ = 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t = τ_C (рис. 9.2).

Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.

Рис. 9.2. Переходные процессы при скачкообразном изменении ЭДС в последовательной цепи

Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени (4¸5)τ_С после коммутации.