Свойства преобразования Лапласа

1) Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

(9.33)

2) Умножение функции времени a(t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:

(9.34)

3) Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

(9.35)

где

4) Теорема дифференцирования. Если начальное значение функции a(t) равно нулю (а(0₊) = 0), то дифференцированию функции a(t) соответствует умножение изображения этой функции на р

(9.36)

при а(0₊) ¹ 0

(9.37)

5) Теорема интегрирования. Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р

6) Теорема запаздывания. Смещению функции времени на t₀ соответствует умножение изображения на

(9.39)

7) Теорема смещения Смещению изображения А(р) в комплексной плоскости на комплексное число l соответствует умножение оригинала на .

8) Теорема разложения. Если изображение А(р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней

(9.40)

причем степень полинома М(p) выше, чем степень полинома N(p), а уравнение

M(p) =0 (9.41)

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться формулой:

(9.42)

где p_k - корни уравнения (9.41).

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, находят изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, переходят от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.