Векторное пространство

О: Мн-во V(a,b,c) эл-в произв.природы образует л.п. над числов.полем Р,если выполняются след.аксиомы.I₁."{a,b}ÎV$!(a,b)ÎVÞсложение выполнимо и обнозначно. I₂."{a,b}ÎV,a+b=b+a. I₃."{a,b,c}ÎV,(a+b)+c=a+(b+c).I₄.$OÎV,"aÎV,a+O=a.I₅."aÎV$(-a)ÎV,a+(-a)=O.(I₁-I₅-абелева гр.).II₁."aÎV,"αÎP,$(αa)ÎV(операция умн-ия выполнима и однозначна).II₂."{α,β}ÎP,"aÎV,α(βa)=(αβ)a.II₃."{α,β}ÎP,"aÎV,(α+β)a=αa+βa.II₄."αÎP,"{a,b}ÎV,α{a+b)=αa+αb.II₅.1ÎP,"aÎV,1*a=a. Cлед-я из аксиом:1. $!OÎV,"aÎV,a+O=a(Док-во:O₁+O₂= O₁ и O₂+O₁=O₂ÞO₁=O₂). 2. "aÎV,$(-a)ÎV(a,b и с-противоположные а.(b+a)+c=O+c=c.b+(a+c)=b+O=bÞc=b=-a. 3. "{a,b}ÎV$!xÎV,a+x=b,x=b-a. 4. $aÎV,0ÎP,a*0=OÎV. 5. "αÎP,OÎV,α*O=OÎV(αaÎV,αa=α(a+O)=αa+αOÞO= α*O. 6. "αÎP,"aÎV,αa=OÞα=0 или а=O. 7. α(-а)=-αа. 8. (-α)a=-αa. 9. α(a-b)=αa-αb,αÎP,{a,b}ÎV. 10. (α-β)a=αa-βa,{α,β}ÎP,aÎV(Док:((α+(-β))а=αа+(-β)а=αа-βа). Пр-ры: 1.Мн-во геом.век-в 3-хмерного пр-ва над полем действ.чисел образует дейст.л.п.2.Мн-во многочл-степени не превышающей n(<=n) над полем R с обычными операциями "+" и "* " на дейст.число явл. дейст.л.п.3.Мн-во прямоуг.матриц образ.дейст.л.п.4.Мн-во функций опред-х на [a,b] обзраз.дейст.л.п.5.Мн-во решений системы линейн.однород.ур-ии образует дейст.л.п.

Базис и размерность конечномерного(к/м) вект.пр-ва.

Опр.Л.п. наз.к/м, если оно имеет хотя бы один базис состоящий из конечного числа объектов.Рассм.базис сист.вект P_n[x],f₁(x)=x, f₂(x)=x², f₃(x)=x³,..., f_n(x)=xⁿ.Лин.незав.и ч/з неё выр-ся "многочлен степени<n.Эта с.век. конечнаÞпр=-во явл.к/м.В к/м пр-х удаётся найти не один базис и возникает вопр. О числе век-в в различ.базисах сис-ы. Т: Число век-в в различных базисах к/м пр-ва одинаково. Док: Пред-м противное.ПустьA={a₁,a₂,...,a_m},B={b₁,b₂,...,b_n},n,m-базисы.А и В-два различ.баз. число век-в в кот. различно.Т.к.А-баз.,то " век-р с.век. В лин.выр-ся ч/з в-ра сист.А. В-лин.незав.сист.как базисÞпо осн.теор. о лин.завис.n<=m(1).Т.к.B базис,то " в-р сист.А лин.выр-ся ч/з век-ра сист.В. А-лин.незав.по осн.теор.Þm<=n(2).Из (1) и (2)Þm=n. Эта теор.позволяет ввести понятие раз-ти пр-ва. О: Размерностью л.п. наз.число век-в в произвольном базисе этого пр-ва. Если разм-ть=n,то пр-во наз.n-мерным.Обознач.dimRⁿ=n, dimR_n[x]=n+1. Т: " конеч.лин.незав.с.век-в n-мерн.пр-ва сод-т не более n в-в. Дано: V_n-n-мерн.лин.пр.,В={b₁,b₂,...,b_k}-лин.незав.сист.век. Д-ть: k<=n. Д-во: Т.к. дан.пр-во n-мерн.,то " его базис сод-т n-век-в.Пусть с.век. А={a₁,a₂,...,a_n}-базис V_nÞВ-лин.незав.и " её век-р лин.выр-ся ч/з АÞпо осн.теор.о лин.завис.k<=n. Cлед: " конечн.с.век-в n-мерн.пр-ва содер-щая более n в-в лин.завис. Т: " лин.незав.с.век.n-мерн.пр-ва содер-т n в-в явл.базисом этого пр-ва(док в тетр). Т: " в-р к/м пр-ва V лин.выр-ся ч/з базис эт.пр-ва един-м образом.

Подпр-ва. V-лин.пр.,LÌV,Lне пустое. Опр: Не пустое подмн-во L лин.пр-ва V наз.подпрост-м эт.пр-ва, если оно само явл.пр-вом отн-но операций опред-х в пр-ве V. Т (признак подпр.)Не пустое подмн.L т.и т.т.явл.его подпр.когда вып-ся условия: 1)"{a,b}ÎL,a+bÌL;2)"aÎL,"lÎP,laÎL. Док: Необ-ть. Дано:LÑV.Док-ть:выполнимость условия 1) и 2).Т.к. LÑV.1) ÞI₁,2) ÞII₁. Дост-сть:Дано:L-не пустое,1) и 2) выполнимы.Док-ть: LÌV.Д-во:Требуется проверить 10 аксиом л.п.I₁-выпол.след. из 1);I₂ и I₃ справедлиды, т.к. “+”коммут и ассоц на "его подмн.I₄.Пусть аÎL-произв.эл-т.Рассм.0*а=OÎL по2).I₅.aÎL,-1ÎP:-1*a=-aÎL по требов-ию2).II₁..Справ-ть след из 2).II₂-II₅ выполн на L как на подмн.V. Þпо опред L-полдпрV. Пр-ры: 1.{0}ÑV.2.L=V.3.Rⁿ-арифметич. n-мернон пр-во.Рассм. пр-во решений некот однородной сист.лин.ур. с n-неизвест.Это мн-во решений б. Подопр.вект.пр-ва.4.Рассм. пр-во квадр.матриц.и выделяется мн-во диагон. матриц.5.ПР-во многочлен. произв. степени и подмн многочл степени <n явл его подпр.

Линейные многообразия(л.м.). Рассм V,его подпр L и вектор x₀ÎV-произ.вектор. Опр: Совокупность век-в М пр-ва V полученное в рез-те сложения каждого в-ра подпр L c фиксиров.в-ром x₀ÎVназ линейным многообразием пр-ва.М={x=x₀+l_i/l_iÎL}.Л.м. полученно парал.сдвигом подпр L." подпр явл л.м., но не каждое л.м. явл подпр. Т1: В-р сдвига Î л.м." два л.м. полученные сдвигом одного и того же подпр, либо совп-т либо их пересечение пусто. Объедин-е всех л.м. получ-е сдвигом одного и того же пр-ва даёт всё пр-во V. Док-во: 1)х₀=х₀+0,0ÎLÞx₀ÎM. 2)Покажем, что если пересечение 2-х многообразий непусто, то они совпадают.M₁=x₁+l, M₂= x₁+l, M₁ÇM₂¹Æ.,a=M₁ÇM₂Þa= x₁+l= x₁+l.Пусть bÎM₁ покажем,что bÎM₂. bÎM₁Þb=x₁+l₃=(a-l₁)+l₃=((x₂+l₂)-l₁)+l₃=x₂+l₄Þ Анал-но док-ся,если cÎM₂ то cÎM₁ÞM₂ÎM₁ÞM₁=M₂. 3)È_iM_i=V, "aÎÈM_i,aÎV,т.е. "bÎVÞbÎÈM_i,т.е. bÎb+L. Пр-р: Рассм.произв.сист.лин.ур-й с n-неизв-ми. a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁,…,a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m(1);Приведённая система: a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0,…,a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0(2).Мн-во решений сист.(2) образует подмн-во n-мерного арифм.пр-ва Rⁿ. Т: Мн-во решений произв.системы лин.ур-й явл. л.м. Rⁿполученным сдвигом пр-ва решений привед.сист.ур.(2) на вектор (a₁,a₂,...,a_n) явл-ся решением системы(1). Док-во: Следует из теор док-ой на 1-м курсе о связи решений:общее решение сист(1) м. Представить в виде суммы общего решения сист(2) и частного реш сист(1). Любое многообр-е ариф.пр=ва совп-т с мн-вом всех решений подлходящей сист ур-й.

Изоморфизм линейного пр-ва. Опр: Два л.п. V и V’ наз изоморф-ми, если сущ-т взаимн-ное отображение j век-в пр-ва V и V’ удовл-х требованию:1)"a,bÎV (a+b)j=aj+bj;2)"aÎV,"lÎP (la)j= l(aj). Св-ва изом.пр-в:1. Рефлексивность[email protected]:aj=a,1)(a+b)j=a+b=aj+bj.2)(la)j=l(aj); 2. Симметр-ть.V@V’.$j для котор.выполн 1 и 2.Постр изобр-е j: (аj)y=а (bj)y=b:1)(aj+bj)y=((a+b)j)y=a+b=(aj)y+(bj)y, 2)(laj)y=((la)j)y=la=l(aj)y; 3. Транз-тьV@V’ и V@V”ÞV’@V”. 4. При изом-ме 2-х л.п. нулевой век-р отобр-ся в нулевой.j*O=O. 5. При изом-ме 2-х л.п. лин.комбинация век-в пр-ва V отобр-ся в линейн.комбин-ю обрпзов-х с теми же коэф-ми.V@V’Þ(l₁a₁+l₂a₂+...+l_na_n)j= Þl₁(a₁j)+l₂(a₂j)+...+l_n(a_nj)(Док-ся методом мат.индукции). 6. При из-ме 2-х л.п. базис пр-ва V®в базис пр-ва V’.Cлед-е:изом-е л.п. имеют один-ю размерность. 7. " л.п. разм-ти n с коэф-ми из R изом-но арифмет.n-мерному вект.пр-ву. 8. 2 л.п.V и V’ c коэф-ми из поля дейст.чисел одинаковой размерности n изом-ы между собой.