Группы

Группа – мн – во G с заданной операцией *, если вып – ся условия: 1) * ассо­циативно, т. е. "a,b,cÎG (a*b)*c=a*(b*c); 2) $е Î G – нейтральный элемент "a Î G a*e=e*a=a; 3) " а Î G, $а^/ Î G – симметрич. а*а^/=а^/*а=е. Если на G задана операция (+), то группа аддитивная. Если (·), то мультипликативная. Примеры групп: <Z,+>, <Q,+>, <R,+>, <Rⁿ,·>, мн – во матриц. Основные св – ва: 1⁰. единственность нейтрального элемента. Д – во: Предположим, что е₁,е₂ – нейтральные элементы Î G, <G,*>. е₁*е₂=е₂ (т. к. е₁ – нейтральный элемент), е₁*е₂=е₁ (т. к. е₂ – нейтральный элемент).Т. к. левые части равны, то равны и правые части Þ е₁= е₂, ч т д. 2⁰. единственность симметр. эл – та. Д – во: Предположим, что а^/₁, а^/₂ – симметрич. для а Î G. (а^/₁*а)*а^/₂=е*а^/₂= а^/₂; а^/₁*(а*а^/₂)=a^/₁*e= a^/₁, т. к. G – группа, то левые части равны в силу ассоциативно­сти операции (*) Þ a^/₁= а^/₂. 3⁰. Однозначность разрешимости уравнений: а*х=b, у*а=b, то а^/ * (а*х)= а^/ * b, х= а^{/ *} b. Аналогично, у=b* а^/. 4⁰. Обратным элементом для произведения а и в явл – ся * в обратном порядке. (а*b)^/=b^/*а^/. Д – во: (а*b)*(b^/*а^/)=а*(b*b^/)*а^/=а*е*а^/=е. (b^/*а^/)*(а*b)=е. Подгруппа – непустое подмножество Н группы G, если оно само образует группу относительно операций заданных на мн – ве G. Пример: <2Z,+> - подгр. для группы <Z,+>. Обозн.: НÍG. Теорема: НÍG Û 1) " a,bÎ Н, a*b Î Н, 2) " а Î Н, а^/ Î Н. Необх. Дано: НÍG. Д – ть: 1), 2). Д – во: т. к. Н – подгр., то по опр. Н образ. группу относит. операций G Þ 1), 2) - выполняются по опр. группы. Дост: Дано: Н подмн – во G, 1), 2). Д – ть: Н – подгр. Д - во: проверим выполнимость 3 условий из опр. группы. 1. выполнимость Þ из условия; 2. т. к. в G выполняется ассоциативность, то и в Н она выполнима; 3. выполнимость Þ из условия;4)д – ть, что нейтр эл – нт ÎH. Т. к " аÎН а*а^/ ÎН, то и еÎН. Чтд. Отображение φ:G₁ ® G₂ наз – ся гомоморфизмом, если оно сохраняет операции определенные в G₁ и G₂. Если φ – взаимнооднозначное отображение, G₁ и G₂ наз – ся изоморфными. Теорема: при гомоморфизме группа переходит в группу. Т. е. если φ:G₁ ® G₂ и G₁ – группа, то и G₂ – группа. a,b,c,е,а^-1 ÎG₁, j(a),j(b),j(c), j(a^-1), j(е) ÎG₂.Учитывая, что j(a*b) = j(a)*j(b). Д – во: проверим 3 условия группы для G₂. 1. j(a*b*c) = j((a*b)*c) = j(a*b)* j(c) = (j(a)*j(b))*j(c) = (a^/*b^/)*c^/, но j(a*b*c) = j(a*(b*c)) = j(a)*j(b*c) = j(a)*(j(b)*j(c)) = a^/*(b^/*c^/) => (a^/*b^/)*c^/= a^/*(b^/*c^/) 2. a^/ = j(a) = j(e*a) = j(e)*j(a)= j(e)* a^/, но a^/ = j(a) = j(a*е) = j(а)*j(е)= a^/*j(е)=> a^/=j(e)* a^/ = a^/*j(е), т. е j(е)ÎG₂. 3. j(е) = j(a*a^-1) = j(a)* j(a^-1) = a^/ *j(a^-1), но и j(е) = j(a^-1 * а) = j(a^-1)* j(a) = j(a^-1) * a^/ => a^/ *j(a^-1) = j(a^-1) * a^/ = j(е), т. е. j(a^-1)ÎG₂. Из 1, 2, 3 => G₂ – группа.