Система линейных уравнений

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называются системы вида: {a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ и т.д., Величины (a₁₁ a₁₂ … a_1n называются коэф. данной системы. Величины b₁, b₂,…,b_n – свободные члены. Система однородна если все b_i=0 и наоборот. Система совместна, если она имеет хотя бы 1 решение, несовместна – если нет решений или ¥ много реш. k₁,…,k_n - решение сист. лин. ур., если при подстановке их получ. тождество.

Решением сис. наз. упорядоченный набор из n чисел при подстановке которого в систему получают верные числовые равенства.

Составим матрицу из коэф. . Определитель этой матрицы наз. главным определителем системы.

2. Определение равнос. систем.

Две системы наз. равнос. если множества их решений совпадают или они обе несовместны.

3. Система лин. ур. переходит в равносильную при следующих элементарных преобразованиях:

1. Умножение к-л. ур. системы на k<>0.

2. Прибавление к к-н. ур. другого ур-я умноженного на число.

3. Выбрасывания тривиального уравнения: (все коэф. = 0).

4. Теорема о методе Гаусса.

На этих элемент. преобраз. основан метод решения уравнений основанный на последовательном исключении неизвестных (метод Гаусса).

Т: Произв. сист. лин. ур. либо несовместна, либо с пом. элемент. преобраз. м.б. приведена к треуг. виду и имеет ед. решение или к трапецеидальному виду и имеет множество решений.

Д-во: {a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_1… a_s1x₁+a_s2x₂+…+a_snx_n=b_s. Пусть a₁₁¹0. Если нет, то на первое место у которого коэф. при x₁¹0. Такое ур всегда найдется т.к. иначе система не содержала бы коэф. x₁. Умножим ур. (1) на –a₂₁/a₁₁ и + ко (2). Коэф. при x₁ во (2) = 0, аналогично для остальных. Получим систему: {a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b_1, a’_s2x₂+…+a’_snx_n=b’_s…_.. Далее аналогично избавляемся от коэф. при x₂ и т.д. В процессе преобраз. коэф. к.-л. ур-я могут занулиться и получим ур-е: 0x₁+0x₂+…+0x_n = c. Если с=0, то ур. тривиально и его м/о отбросить, иначе ур-е не имеет реш. и система несовместна. Если система совместна то после исключения неизв. получим систему вида: k£s, k<n.

1. k=n, система имеет треугольный вид. Из последнего уравнения системы находим x_n. и т.д.

2. k<n, система трапециидального вида. Неизв. x_k+1, x_k+2…x_n, объявляются свободными а слагаемые с ними переносятся в правую часть. Далее свободным неизвестным будем придавать произвольные значения, и находить x₁…x_k. Решений будет множество.

5. Другим способом решения является правило Крамера. Это правило применимо только для систем с одинаковым количеством уравнений и неизвестных, и D ¹ 0.

Т: Сис. n лин. ур. с n неизв. D ¹ 0 всегда совместна и определена и ее ед. решение нах: x₁=D₁/D, … x_n=D_n/D.

Д-во: Сначала покаж. что если реш. у сист. сущ., то оно ед-но, далее покаж. что это реш сущ. всегда при D ¹ 0.

1. Допустим, что сист. совм., т.е. она имеет реш. b₁,… b_n – это одно из решений. Подставим в сиcтему: {a₁₁b₁+a₁₂b₂+…+a_1nb_n=b₁, домножив на A_1i, A_2i … A_ni, сложим полученные рав-ва почленно и сгруппируем слаг. в левой части относ b_i. Þ (a₁₁A_1i+…+a_n1 A_ni)b₁+…+ (a_1iA_1i+…+a_ni A_ni)b_i+…+ (a_1nA_ni+…+a_nn A_ni)b_n =b₁A_1i+…+ b_nA_ni. Þ Db_i=D_i Þ b_i=D_i/D. x_i=D_i/D, D ¹ 0.

Докажем, что это??? находится по этим формулам.

Докажем, что числа D₁/D, D₂/D…D_n/D - реш. системы. Подст. в 1 ур:

a₁₁D₁/D+a₁₂D₂/D+…+a_1nD_n/D=(1/2)(a₁₁(b₁A₁₁+…+ b_nA_n1)+…+ a_1n(b₁A_1n+…+ b_nA_nn)). Перегр. слаг. по b₁,…,b_n. Þ (1/D)((a₁₁A₁₁+…+ a_1nA_1n)b₁+…+(a₁₁A_n1+…+ a_nnA_nn)b_n) = (1/D)Db₁=b₁. Набор чисел является решением 1 ур. Проделав аналог. работу с ост. ур. м. убедиться что числа D₁/D, D₂/D…D_n/D удовл. также ост. уравнениям.

6. $ критерий позвол. опред. будет ли система совместна (т. Крамера-Копели): Система лин. ур. совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы = рангу расшир матрицы.(A = A^--) (rang A = max числу её л/н строк).