Полиномы над полем С

С- поле компл-х чисел.

,

f(x)Î C[x],

.

Мн-н с функц-ой точки зрения: Если

.

Если переменная прин-т мн-ву компл-х чисел, то получаем компл-ю ф-цию от компл-го числа. "компл-му числу a+ib соотв-т т. на компл-ой пл-ти. Будем считать тт. на компл-й пл-ти 1 - аргументами, тогда знач-я ф-ции соотв-щие аргум-м пл-ти 1 будут так же компл-е числа (точки), кот-е распол-ся на др компл-й пл-ти. Среди комп-х ф-ций от комп-го перем-го выд-ют непрер-е ф-ции. Компл-я ф-ция от компл-го перем-го непрер-на в т x₀ если

и

Т: многочл. f(x) над полем компл-х чисел непрер-н в "точке компл-й пл-ти. (без док-ва). Сл: модуль f(x) явл-ся непрер-й ф-цией. Теор: пусть , тогда для "k сущ-ют такие значения перем-го что (без док-ва). Теор: (о неогранич возр-нии модуля мн-на) для "t сущ-т S (t,SÎR), что |x|>SÞ|f(x)|>t

Основная теор алгебры док-на Гауссом в 1799г: "многочл над полем комп-х чисел (степени >1) имеет хотя бы 1 корень. Для ее док-ва использ-сь 1) лемма Даламбера: для многочл. f(x) степени ≥1 и f(x₀)≠0, сущ-т h такой что |f(x₀+h)|≤|f(x₀)|. 2) теор Вейерштрасса: если действ ф-ция от компл-го перем-го непрерывна в некот-й обл-ти →в некот-й точке она достигает своего min.

Опр: поле Р наз алгебраически замкнутым, если "мн-чл над этим полем имеет в нем хотя бы один корень. Поле компл-х чисел алгебр. замкнуто. Д-во- основн теорема.

Теор: (о разложении мн-чл над С). "мн-чл над полем компл-х чисел (степень которого =n) разл-ся в поле C[x]в произв-е n лин-х множ-й. Д-во: (a₀≠0). По осн теор. Сущ. a1-корень, т. е. f(a1)=0. По теор Безу имеем что f(x)=(x-a1)f1(x) .

a2- корень f1(x), т. е.

f1(a2)=0 , и т. д. f(x)=a₀(x-a1)(x-a2)…(x-a_n). Сл: 1. "мнчл-н n-степени имеет в поле C[x] ровно n корней. 2. "мн-чл над C[x] приводим над этим полем. Т. о. наивысшая степень непривод-го над полем С мн-чл есть 1. О: поле Р наз-ся полем разл-я для мн-на f(x) если он разлаг-я над ним в произведение линейных множ-й.