Неопределенный интеграл

Пусть дана ф. f(x) задана на X, тогда ф. y=F(x) назыв первообр для f(x) на X, если ее произв совпадает F'(x)=f(x). Н-р: f(x)= x³ F(x)=x⁴/4 F'(x)=x³ F'(x)= x⁴/4+s -первообр, F'(x)= x⁴/4 +c -первообр, т.о. для f(x) имеем семейство первообр. Если ф. F(x) первообр для ф. f(x), то мн-во всех первообр. вида F(x)+C назыв неопред интегр, обозн =F(x)+C, f(x)-подынтегр ф., f(x)dx -подынтегр выраж-е, x –перем-я интегр-я, С -произвольная постоянная.

Т: Если ф. непр на нек-м [a,b], то для этой ф. на этом отр сущ первообр, а => и неопред интегр.

Св-ва: 1. ()'=f(x) Д-во: F(x) -перв-я для f(x) на X, => F'(x)=f(x) "xÎX ()'= (F(x)+C)'= F'(x)+C'= f(x)

2. d()=f(x)dx Д-во: d()= d(F(x)+C)= (F(x)+C) = f(x)dx

3. Неопр. инт-л от диф-ла к.-либо ф. = самой ф. + произвольная пост. Н-р:

4.

5. Д-во ; =f(x) g(x)

Таблица основных интегралов

1.

2. Д-во: 1).x 0 (ln|x|+C)'=(lnx+C)'=1/x 2).x<0 (ln|x|+C)'= (ln(-x)+C)'=

-1/(-x)+0=1/x

3.

4.

5.

6.

^7.

^8.

^9.

^10.

11^.

12.

13.

Мет выч-я.

1.Прост-е приемы интегр-я (сведение к табличным).

2.Метод замены перем-х.

Т: Если =F(t)+C, то = F()+C Д-во: (F()'= F'() = f()

3.Интегр-е по частям.

Пусть даны ф. V(x) и U(x) на X и пусть имеют непр-е произв U'(x) и V'(x) на X f(x)=(UV)'=U'V+V'U, F(x)=UV => , Смысл интегр-я по частям в том, что инт-л стоящий справа был либо табл-м, либо проще, чем интегр, стоящий слева.

4.Интегр-е рац. ф. f(x)=Pn(x)/Qm(x).

, а)выяснить прав-я ли дробь под знаком интегр, если n m, то неправ-я, выд-ть цел часть б)разл-ть знам-ль на прост сомнож в)разл-ть подынтегр ф. на прост. дроби (метод неопр-х коэф-в) г)интегр-е др.-рац. ф. сводится к интегр-ю прост дробей, их 4 типа: I A/(x-a), II A/(x²-a)^k, III (Ax+B)/(ax²+bx+c), где D<0, т.е. кв. трёхч ax²+bx+c имеет компл-е сопр-е корни, IV (Ax+B)/(ax²+bx+c)^k, kÎN.

5. Интегр тригоном. ф.

а) интегр вида , где m,nÎZ 1)m=2k+1 = =-∫(1-cos²x)^kcosⁿxd(cosx), 2)m=2k, n=2k, то исп-т ф-лы пониж степ. В общ случае их реш мет-м интегрир по частям.

б)интегр вида ∫sinmx cosnx dx, ∫sinmx sinnx dx, ∫cosmx cosnx dx -находят с пом триг-х ф-л.

в)инт-л вида ∫f(sinx cosx)dx, tg(x/2)=t =>sinx=2t/(1+t²), cosx=(1-t²)/(1+t²), dx=2dt/(1+t²), т.о. ∫ привод к ∫ от рац-х ф. новой перем t.

Пр-р: ∫dx/(cosx+sinx-1)=(ин-л вида в))= ∫ = 2∫dt/(1-t²+2t-1-t²) = ∫ = ∫ = ∫dt/t+∫dt/(t-1) = ln|t|-ln|1-t|+C = ln|tg(x/2)|-ln|1-tg(x/2)|+C