Частотні методи аналізу та синтезу АСР

Для виконання задач аналізу та синтезу АСР використовуються різні частотні характеристики.

Частотні характеристики розімкненої системи отримуються на основі виразу: , (6.27)

Підставляючи у вираз (6.27) передаточні функції регулятора і об’єкта при p=jω, отримують частотну характеристику розімкненої системи:

- для системи з П-регулятором:

(6.28)

В цьому і наступних прикладах приймається, що об’єкт є статичним, тобто із самовирівнюванням (рис.6.6).

Рис.6.6.Частотні характеристики системи з П-регулятором.

Як видно з виразу (6.28) при К_рег=1 частотна характеристика розімкненої системи W_роз(jω) відрізняється від частотної характеристики об’єкта лише розмірністю. При кожен вектор W_ок(jω) змінюється по довжині в К_рег разів, не змінюючи свого положення на комплексній площині;

- для систем з І-регулятором (рис.6.7):

(6.29)

Цей вираз можна переписати так:

(6.30)

Таким чином, кожний вектор АФХ об’єкта повертається

на за годинниковою стрілкою

(в сторону відставання) та змінюється

по довжині в разів;

Рис.6.7.Частотні характеристики

АСР з І-регулятором.

- для системи з ПІ-регулятором (рис.6.8):

(6.31)

Рис.6.8. Частотні характеристики системи з ПІ-регулятором.

Побудова W_роз(jω) виконується так:

- на АФХ об’єкта обирається кілька точок з частотами ω₁,ω₂,ω₃,ω₄... з відповідними векторами ОА₁, ОА₂, ОА₃, ОА₄...;

- до кожного вектора проводиться перпендикуляр;

- на кожному перпендикулярі відкладаються відрізки і отримують W_роз(jω) при К_рег=1;

- домножається кожний вектор на потрібний К_рег. Крім того, отримують сімейство W_роз(jω) при різних значеннях Т_і.

Необхідно відзначити, що W_роз(jω) безрозмірна. Дійсно, при ω=0 W_роз(jω)=К_регК_ок.

Маючи W_роз(jω), можна побудувати частотні характеристики замкненої системи:

- відносно зміни завдання (рис.6.9). Для цього використовується вираз: (6.32)

Рис.6.9.Частотні характеристики АСР: а) розімкненої, б) замкненої, відносно зміни завдання.

В чисельнику виразу (6.32) – вектор АФХ розімкненої системи, а в знаменнику – суми векторів: Z₁=W_роз(jω); Z₂=1+і0. Тоді значення W_зд(jω_і) на певній частоті ω_і знаходиться як результат ділення двох векторів, причому АЧХ:

(6.33)

а ФЧХ:

- відносно збурення (рис.6.10). Для отримання частотної характеристики замкненої системи використовують вираз:

(6.34)

Для побудови графіка АФХ замкненої АСР необхідно поділити вектор АФХ об’єкта за каналом збурення на вектор проведений з точки В (-1,j₀).

Рис.6.10.Частотні характеристики АСР, а) – розімкненої та об’єкта,

б) замкненої, відносно збурення.

Тоді АЧХ буде:

(6.35)

а ФЧХ: (6.36)

Необхідно відзначити, що значення вектора на різних годографах беруться на одинаковій частоті ω_і.

Однією із задач дослідження АСР є визначення умов її знаходження на межі стійкості, що відповідає критичним значенням настройок регулятора. Для системи з П-регулятором (рис.6.11) умовою знаходження АСР на межі стійкості є:

R^крит * К^крит_рег=1 (6.37)

де: R_крит – значення вектора АФХ об’єкта; К^крит_рег – критичне значення коефіцієнта передачі регулятора. Ці значення оцінюються на частоті ω_π. Тоді:

(6.38)

Рис.6.11. Частотні характеристики АСР з П-регулятором.

Для систем з І-регулятором (рис.6.12) необхідно враховувати, що кожен вектор АФХ об’єкта повертається на -90⁰, а довжина змінюється в разів.

Тоді значення знаходять

з виразу:

(6.39)

(6.40)

Рис.6.12. Частотні характеристики

АСР з І-регулятором.

Цей вираз ще раз показує, що І-регулятор може працювати лише з об’єктом із самовирівнюванням. Якщо об’єкт астатичний, то АФХ системи буде охоплювати точку з координатами (–1;j₀) при будь-якому значенні , тому що мінімальний зсув фаз в такій системі при частоті ω=0 буде –180⁰.

Для системи з ПІ-регулятором будується сімейство АФХ розімкненої системи (рис.6.8) при К_рег = 1 та різних значеннях Т_і. З виразу (6.37) визначається критичне значення К^крит_рег. В цьому випадку R^крит – відрізки, які відсікаються на дійсні від’ємні напівосі сімейства АФХ W_роз(jω). За цими даними будують область стійкості (рис.6.13).

Рис.6.13. Область стійкості АСР з ПІ-регулятором.

Для ПІД-регуляторів на площині параметрів настройки К_рег – Т_і будують сімейство кривих для різних значень відношення Т_д/Т_і=const (рис.6.14).

Т_д/Т_і=const

Рис.6.14.Область стійкості АСР

з ПІ-регулятором.

Якщо частотні характеристики об’єкта задані аналітичними виразами,то при відомих АФХ регуляторів умовою знаходження АСР на межі стійкості є вираз:

(6.41)

який розпадається на два:

(6.42)

Амплітудно-фазові характеристики об’єкта і регулятора записують в такій формі:

(6.43)

(6.44)

Тоді настройки регулятора з урахуванням (6.42) можна знайти в явному вигляді:

(6.45)

(6.46)

де: К_ок – коефіцієнт передачі об’єкта по каналу керування, Т₁,Т_2... – постійні часу об’єкта, τ_зп – час запізнювання.

Користуючись частотними характеристиках, можна отримати також параметри системи, які забезпечують заданий запас стійкості за модулями і фазою (рис.6.15).

Рис.6.15. Визначення запасу стійкості АСР.

Якщо на фазовій площині нанести коло радіусом r=1, то можна визначити:

- запас стійкості по модулю С, який показує, на скільки повинен змінитись модуль W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості;

- запас стійкості по фазі – кут g, який показує, на скільки повинен змінитись зсув по фазі в розімкненій системі при існуючому модулі W_роз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості.Запас стійкості безпосередньо зв’язаний з величиною максимума АЧХ замкненої системи (рис.6.16) відносно зміни завдання:

(6.47)

Рис.6.16. АЧХ замкненої сисеми.

В залежності від розташування W_роз(jω) на комплексній площині змінюється вид АЧХ. При ω=0 W_роз(jω)→∞, ОА=ВА, А_зд(0)=1. При збільшенні частоти т.А переміщується угору, тоді можливі такі випадки:

- якщо W_роз(jω) знаходиться достатньо далеко від точки В(-1; j₀), то відрізок ВА буде завжди більшим відрізка ОА. При ω→∞ ВА=1, ОА→0, А_зд(ω) →0 (рис.6.16, крива 1);

- якщо W_роз(jω) проходить достатньо близько від т.В(-1; j₀), то відрізок ВА при низьких частотах <ОА, тому в діапазоні частот [ω=0, w_рез] А_зд(ω) зростає до максимуму. При ω→∞ ОА→0, ВА=1, А_зд(ω) →0 (рис.6.16,крива 2).Чим ближче W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим більший максимум А_зд(ω);

- якщо W_роз(jω) проходить через точку В(-1; j₀), то max А_зд(ω) →∞, ВА→0 (крива 3,рис.6.16).

Таким чином, чим більший max А_зд(ω), тим ближче годограф W_роз(jω) до точки В(-1; j₀), тим менший запас стійкості. Для забезпечення необхідного запасу стійкості W_роз(jω) повинна розташовуватись на певній відстані від точки В(-1; j₀), тобто не повинно перевищуватись деяке значення відношення:

(6.48)

де: М – показник коливальності

(6.49)

Таким чином, для того, щоб max А_зд(ω) не перевищував деякої заданої наперед величини, W_зд(jω) не повинна заходити в область, обмежену колом радіусом r (рис.6.17):

(6.50)

центр якого розташований на відстані:

(6.51)

Рис.6.17. До визначення запасу стійкості.

Для технічних систем приймається М =1,1 ÷ 1,6. Існує однозначний зв’язок між показником коливальності М, степенем затухання Ψ, запасом по модулю С і фазі g:

Ψ = 0,7 0,8 0,9

М = 2,7 2,09 1,55 (6.52)

С = 0,28 0,33 0,44

g = 21⁰ 28⁰ 45⁰

Виходячи з наведених міркувань, розроблено методику визначення параметрів системи, які забезпечують заданий запас стійкості. Для цього:

- наноситься коло, яке відповідає показнику коливань М;

- змінюючи параметри настройки регулятора, добиваються, щоб W_роз(jω) була дотичною до цього кола;

- приймаючи певне значення М, наприклад, М=1,62 (Ψ ≈ 0,85÷0,9), визначають: (6.53)

Рис.6.18. Область заданого запасу стійкост АСР.