Визначення оптимальних параметрів системи

Однією з центральних задач прикладної теорії автоматичного керування є визначення оптимальних параметрів, зокрема значень настройок регуляторів. Для цього використовуються різні методи: аналітичні, графо-аналітичні та за наближеними залежностями.

При одинаковій коливальності перехідні процеси в АСР можуть мати різну тривалість, статичну та динамічну похибку і інш. В умовах непередбачуваних збурень необхідно забезпечити задану якість перехідних процесів. Оптимальними настройками регуляторів будуть такі, які забезпечують досягнення найкращих результатів в конкретній ситуації при існуючих ресурсах та обмеженнях у відповідності до обраного критерія. Можна записати таку залежність:

А^*=argextr I,

U є Ω_u (6.54)

де: А^* - вектор оптимальних значень параметрів настройок регулятора (К_рег, Т_і, Т_д); І – критерій оптимальності; U – сигнал керування. В задачах знаходження оптимальних значень параметрів настройок регуляторів використовуються також математичні моделі об’єкта та формуються обмеження на координати стану Х, вихідні змінні У та збурення Z.

Загальний критерій оптимальності для АСР формується так: система повинна найкраще (найбільш точно) відпрацьовувати корисні сигнали, в першу чергу вектор сигналу завдання Х_зд та компенсувати або принаймні зменшувати дію збурення Z. При цьому необхідно враховувати, що зовнішні сигнали мають різні частотні спектри, а складові гармоніки при проходженні через систему змінюються за амплітудою та фазою.

Абсолютна фільтрація (компенсація) збурень забезпечується, коли АЧХ системи відносно збурення дорівнює нулю у діапазоні частот від ω=0 до ω→∞, тобто:

(6.55)

Вимога точного відтворення Х_зд потребує, щоб:

(6.56)

В реальних системах залежності (6.55) та (6.56) не можуть виконуватись точно, тому оптимальними параметрами настройок вважаються такі, які забезпечують максимальне наближення АЧХ реальної системи до характеристик ідеальної. Крім того, оптимізацію настройок неможливо забезпечити у всьому діапазоні частот, а для інерційних технологічних об’єктів найбільш “небезпечними” є низькі частоти.

Одним з методів отримання значень оптимальних настройок регуляторів є введення поняття фільтра для збурення Z (рис.6.19) та перенесення його на вхід системи. Виходячи з еквівалентності структур, які відповідають рис.6.19,а та 6.19,б можна записати:

Рис.6.19. Структура одноконтурної АСР а) стандартної; б) з фільтром для збурення.

Для схеми а):

Х(р) = W_зд(р)Х_зд(р) + W_збур(p)Z(p) (6.57)

Для схеми б):

Х(р) = W_зд(p)X_зд(p) + W_зд(p)W_ф(p)Z(p) (6.58)

Порівнюючи праві частини виразів (6.57) та (6.58), знаходимо необхідну передаточну функцію W_ф(р):

(6.59)

Якщо властивості об’єкта залишаються постійними, то настройки регулятора оптимізуються так, щоб АЧХ фільтра і її похідні дорівнювали нулю, тобто:

(6.60)

Якщо об’єкт статичний, то при ω→0 W_озб(0)=K_озб, W_ок(0)=К_ок. Для системи з П-регулятором вираз (6.59) прийме вид:

(6.61)

Таким чином, в околі точки ω=0 АЧХ фільтра буде наближатись до нуля, коли К_рег→∞. Висновок про підвищення точності системи при збільшенні значення К_рег вже був зроблений в попередніх розділах, але завжди існує обмеження: при К_рег = К^крит_рег система виходить на межу стійкості, а при К_рег > К^крит_рег стійкість втрачається.

Для системи з ПІ-регулятором АЧХ фільтра має вигляд:

(6.62)

При ω=0 цей вираз також дорівнює нулю, тобто відсутня статична похибка. Перша похідна від (6.62) має вид:

(6.63)

/При ω=0 вираз (6.63) набуває виду:

(6.64)

Таким чином, в цьому випадку необхідно щоб відношення було максимальним. На площині параметрів настройки ПІ-регулятора це відповідає т.А (рис.6.20), яку отримують за допомогою дотичної до лінії межі області заданого запасу стійкості.

Рис.6.20.Визначення оптимальних настройок ПІ-регулятора.

Параметри настройок ПІ-регулятора, які відповідають т.А, будуть оптимальними і відрізняються від інших лише тим, що саме ці настройки забезпечують максимальне зменшення збурення і точне відтворення Х_зд.

Для розрахунку оптимальних настройок автоматичних регуляторів використовуються також розширені частотні характеристики (РЧХ). На відміну від звичайних при отриманні РЧХ вхідний сигнал має вигляд:

(6.65)

або в показниковій формі:

(6.66)

де: m – постійний параметр.

Як видно з виразів (6.65), (6.66) амплітуда коливань U_maxe^-mωt зменшується і викликані цим сигналом змушені коливання будуть мати такі ж значення частот і степені затухання, але відрізнятись за амплітудою і фазою:

(6.67)

(6.68)

Тоді розширена частотна характеристика буде мати вигляд:

(6.69)

Для визначення РЧХ в передаточну функцію необхідно підставити р=(j-m)ω. При m=0 це відповідає звичайним (нормальним) частотним характеристикам (рис.6.21).

Для годографа 1 m=0,ψ=0;

для РЧХ 2: m=0,221 (ψ=0,75);

для 3: m=0,366 (ψ = 0,9).

Рис.6.21.Звичайна та розширені

частотні характеристики.

Методика розрахунку настройок регулятора по аналогії з критерієм стійкості Найквіста базується на твердженні: якщо розімкнена система має ступінь коливальності не нижче заданого, то замкнена система буде мати такі ж показники тоді, коли РЧХ розімкненої системи пройде через точку з координатами -1; j_0.

Розрахунок виконують в такій послідовності:

- визначають параметри регулятора, при яких система має запас стійкості не нижче заданого;