Задача 9. Решить задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса

9.1 Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0.7; 0.2; 0.1. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы 0.1, для второй – 0.5, для третьей – 0.5.
Пассажир пришел за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

9.2 Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс А (мало рискует), класс В (рискует средне), класс С (рискует сильно). Компания предполагает, что из всех водителей, застрахованных у неё, 30% принадлежат классу А, 50% –классу В, 20% – классу С.Вероятность того, что в течение года водитель класса А попадет хотя бы в одну автокатастрофу, равна 0.01; для водителя класса В эта вероятность равна 0.03, а для водителя класса С – 0.1.
Мистер Джонс страхует свою машину у этой компании и в течение года попадает в автокатастрофу. Какова вероятность того, что он относится к классу А?

9.3 Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета составляет 80% всего времени полета, условия перегрузки – 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0.1, в условиях перегрузки – 0.4.
Найти вероятность того, что прибор не откажет в течение всего полета.

9.4 Из первой урны, содержащей 10 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают два шара и перекладывают во вторую урну, содержащую 3 белых и 10 черных шаров. Из второй урны наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных из второй урны шаров один белый и один черный.

9.5 В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены на отлично, четверо – хорошо, двое – посредственно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: отлично плохо.

9.6 На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 –только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то прибор регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха – то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

9.7 Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживается дефект (если он есть) и существует ненулевая вероятность 0.03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным.
Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

9.8 Работник ПЗ-23, живущий в заречной части города, с вероятностью 0.9 едет на автобусе № 16 и с вероятностью 0.1 едет с пересадками на троллейбусе. Если он едет на автобусе,
то поспевает к началу смены с вероятностью 0.95; а если он добирается на троллейбусе, то успевает в срок с вероятностью 0.7.
Работник на смену опоздал. Найти вероятность того, что он добирался с пересадками на троллейбусе.

9.9 Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше производитель­ности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отлич­ного качества, а второй - 84% деталей отличного качества. Наугад взятая с конвейе­ра деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь из­готовлена первым автоматом.

9.10 Известно, что в среднем на каждую тысячу жителей приходится 9 человек больных гастритом. С помощью новой методики обследуют 1000 человек. Методика хороша, но не идеальна, т.к. у действительно больного человека диагноз подтверждается с вероятностью 0.9, а здоровый человек с вероятностью 0.01 может быть признан больным.
В результате обследования один человек был признан больным. Какова вероятность, что диагноз не ошибочный?