Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Частные производные функции двух переменныхСведения из теории Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .
Определение. Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение . Термины: - область определения функции; и - аргументы функции. Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы . Область называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной. Пример28. Найти область определения функции . Решение. Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:
Ответ. Область определения функции - затемненная область на рисунке.
В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных. Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных. Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .
Определение Частная производная ( читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е. .
Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .
Определение. Частная производная ( читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е. . Замечание. В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и (читается дэ z по дэ x, Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другая не меняется и считается константой. При этом функция 2-х переменных фактически становится функцией одной переменной. Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. . Пример 29. Найти частные производные функции в точке . Решение. Вычислим ; . Ответ. . Сведения из теории Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.
|