Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Системы линейных алгебраических уравнений и их решение в матричной формеМетод Крамера. Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Метод Крамера - вывод формул. Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x1, x2, …, xn, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество . Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений). Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы: 1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю: Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А1 1, обе части второго уравнения – на А2 1, и так далее, обе части n-ого уравнения – на Аn 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А): Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений: Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем Аналогично находим x2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А: Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn и применяем свойства определителя: Откуда Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные. Если обозначить то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .
|