Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотренный подход требует большого объема трудоемких вычислений.

Широко для решения систем линейных алгебраических уравнений используется также метод Гаусса и его модификации. Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду, что достигается последовательным
исключением неизвестных из уравнений системы.

Сначала с помощью первого уравнения исключается х ₁ из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х ₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс называется прямым ходом Гаусса, и продолжается он до тех пор, пока в левой части последнего уравнения не останется лишь одно слагаемое с неизвестным x_n, то есть пока матрица системы [ A ] не будет приведена к треугольному виду.

Затем выполняется обратный ход Гаусса, который состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных:

решая последнее уравнение, находим x_n, затем из предпоследнего уравнения находим x_{n- 1} и так до первого уравнения, из которого находим х ₁.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы трех уравнений:

(1.5)

Для исключения х ₁ из второго и третьего уравнений умножим первое уравнение последовательно на коэффициенты и (в общем случае на ) и сложим полученные уравнения соответственно со вторым и третьим уравнениями. В результате получим:

(1.6)

где:

или в общем виде:

Теперь из третьего уравнения полученной системы (1.6) нужно исключить х ₂. Поступаем аналогично. Умножаем второе уравнение на коэффициент и складываем полученное уравнение с третьим. Получим:

где: .

Матрица системы уравнений стала треугольной, на этом заканчивается прямой ход Гаусса. Заметим, что здесь везде идет деление на коэффициенты , то есть на главные коэффициенты системы, поэтому они не должны быть равны нулю.

Обратный ход Гаусса начинается с решения последнего (третьего) уравнения: ,

после чего используя это значение, находим из второго уравнения :

а затем, зная и , аналогично из первого уравнения находим .

Аналогично строится вычислительный алгоритм решений линейной
системы с произвольным числом уравнений. Заметим, что метод Гаусса – это достаточно удобный и широко применяемый метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

При большом числе уравнений и значительном расхождении коэффициентов в системе уравнений могут иметь место погрешности вычисления неизвестных, которые могут быть весьма значительными.