Погрешности и их оценка. Сходимость численных методов

В целом погрешности разделяют на:

а ) погрешности выбора расчетной схемы, которые обсуждаются в строительной механике, и, выбрав расчетную схему, влиять на эти погрешности мы больше уже не можем (это, собственно, неустранимые погрешности).

б) погрешности построения математической модели (метода расчета), определяемые тем, насколько точно мы определили зависимости, описывающие рассматриваемую задачу и метод ее решения, – эти погрешности также
являются неустранимыми, так как они неизбежны в рамках данной математической модели;

следует заметить, что все методы расчета сооружений (статический, кинематический методы, метод сил, метод перемещений и т.д.), которые мы условно называем точными, основываются на определенных допущениях, и эти допущения являются источником погрешностей в сравнении с действительной работой сооружений.

в) при переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности численного метода; чаще всего это погрешности дискретизации, связанные с заменой математической модели решения задачи системой конечного количества линейных алгебраических уравнений или конечного
числа слагаемых – при разложении в ряд, и тому подобное. Этим типом
погрешности можно управлять, регулировать его величину (как мы видим
на примере вычисления ); она может быть уменьшена до заданного разумного значения путем изменения определенных параметров – например, шага численного интегрирования, числа членов ряда и т.п. Погрешность метода обычно стараются довести до величины, меньшей погрешности исходных данных (если она известна), так как дальнейшее снижение погрешности бессмысленно, и приводит только к увеличению объема вычислений, или до некоторой задаваемой величины.

г) при проведении расчетов вручную, на калькуляторе или на компьютере возникают погрешности округления, учитывая, что представление чисел и
на калькуляторе, и в компьютере происходят не точно, а с округлением;
максимальная погрешность при округлении может быть вычислена по формуле [3], где – основание системы счисления, – количество разрядов мантиссы числа, заложенных в устройство.

Таким образом, погрешности разделяются по причине возникновения
(погрешности расчетных схем, метода расчета, численного метода, погрешности округления) и могут быть неустранимыми или такими, которые можно, пусть частично, регулировать (уменьшать).

Погрешности могут быть абсолютными и относительными.

Если а – истинное значение, а – приближенное значение, то:

– абсолютная погрешность;

– относительная погрешность.

Относительную погрешность часто удобно вычислять в процентах:

; .

Введем еще одно понятие – сходимость численного метода, которое обозначает приближение (стремление) результата численного метода к истинному решению.

Различают сходимость итерационного процесса, когда при решении задачи для нахождения искомых значений многократно повторяют какой-то процесс (выполняют последовательные итерации), получая последовательность решений (значений). Говорят, что эта последовательность сходится к точному решению, если при неограниченном возрастании числа итераций решение все ближе приближается к действительному и в пределе (при устремлении числа итераций к бесконечности) равно ему. К таким задачам относятся, например, задача нахождения корня нелинейного уравнения, задача решения системы линейных и нелинейных систем уравнений итерационными методами.

К таким задачам относится и задача вычисления при разложении его
в ряд. Чем больше членов ряда мы возьмем, тем ближе его значение будет приближаться к действительному; при этом значения последних слагаемых здесь должны все более уменьшаться. Скорость этого уменьшения характеризует
скорость процесса схождения итерационного процесса (см. представленный ниже рисунок).

Естественно, чем быстрее сходится процесс, тем лучше, потому что в этом случае для получения приемлемого результата с заданной погрешностью
можно будет взять меньше членов ряда, или выполнить меньше итераций
(повторений процесса), что уменьшает объем вычислений.

Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации, в которых задача с непрерывными параметрами заменяется задачей, в
которой значения функции вычисляются в фиксированных точках. Такой подход используется, например, в численном интегрировании, в методе конечных разностей, в методе конечных элементов и т.п. Здесь под сходимостью метода понимается стремление значений решения дискретной модели к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации (например, шага интегрирования, размеров конечных элементов в МКЭ и т.д.).