Квантовый гармонический осциллятор

В квантовой физике из-за соотношения неопределенностей понятие силы теряет смысл и под гармоническим осциллятором понимают частицу массы m, обладающую потенциальной энергией U(х) такой же, как у классического осциллятора: , где

æ = const. Формально вводят , которая не имеет физического смысла частоты колебаний. Тогда и уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид: . Оно имеет решения (конечные, однозначные, непрерывные и гладкие), т.е. - функции при собственных значениях: , где

v = 0, 1, 2,... - квантовое число. эквидистантны. Схема энергетических уровней:

- нулевая энергия, что соответствует принципу неопределенности (частица не может лежать на дне параболической потенциальной ямы, т.к. не может иметь точной координаты).

Доказано, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними уровнями при которых v меняется на единицу - правило отбора для квантового гармонического осциллятора. Каждый переход сопровождается испусканием (при уменьшении v) или поглощением (при увеличении v) кванта энергии , т.е. здесь формальная величина приобретает физический смысл.

Неверно полагать, что осциллятор совершает колебания с частотой w. Следует гово-рить не о колебаниях, а о плотности распределения вероятности местонахождения частицы:

Классическая частица:

а) за пределы интервала выйти не может;

б) с наибольшей вероятностью (во времени) ее можно обнаружить в крайних точках, где ее скорость уменьшается до нуля, полная энергия E = U и она совершает поворот.

Квантовая частица:

а) может быть обнаружена за пределами интервала (- х; + х), в котором E<U.

б) может быть обнаружена в середине интервала с большей вероятностью чем по краям (особенно для v = 0).

в) с увеличением v квантовый осциллятор все более похож на классический (вероятность обнаружения частицы в центре интервала уменьшается, по краям – увеличивается).