Движение свободной частицы

Рассмотрим движение свободной частицы. Полная энергия Е движущейся частицы равна кинетической энергии (потенциальная энергия U = 0). Уравнение Шредингера для стационарного состояния (12.3) имеет в этом случае решение

.

Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид . Следовательно,

.

Это уравнение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн равной частоты , распространяющихся одна в положительном направлении оси х с амплитудой А, а другая в противоположном, с амплитудой В. Но в неограниченном пространстве отраженной волны быть не должно, поэтому можно принять В = 0, и тогда

. (17.1)

Каждая такая функция – плоская волна описывает состояние, в котором частица обладает определенными значениями энергии Е и импульса р = k. Реальная часть (17.1)

задает поведение свободной частицы. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де‑Бройля с волновым числом

.

Вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства найдем как

,

т. е. вероятность обнаружить частицу вдоль оси х везде постоянна.

Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она, в соответствии с принципом неопределенности, с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, мы ничего не знаем о ее местонахождении.

В процессе измерения координаты частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (17.1) для свободной частицы ограничивается отрезком х. Плоскую волну уже нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса).