Потенциальная яма конечной глубины

Рассмотрим задачу о движении частицы в потенциальной яме со стенками конечной высоты (рис. 14.1).

Найдем собственные волновые функции и собственные значения энергии , которые удовлетворяли бы граничному условию: при больших значениях функция y(х) стремится к нулю. Рассмотрим только правую половину ямы ().

В области II уравнение Шредингера записывается в виде

.

Решение этого уравнения имеет вид

,

где . При этом в области II < 0. Граничному условию для области II удовлетворяет решение

. (14.1)

В области I уравнение Шредингера записывается в виде

,

а решения этого уравнения имеют вид (см. разд. 13):

● при нечетных значениях n

; (14.2)

● при четных значениях n

, (14.3)

где ².

При Y-функция должна удовлетворять стандартным условиям

; . (14.4)

Для нечетных энергетических уровней, подставляя (14.1) и (14.2) в (14.4), получаем соотношения

;
.

Разделив эти соотношения, получим

.

Учитывая, что и , запишем

;

. _. (14.5)

Уравнение (14.5) является трансцендентным и может быть решено либо графически, либо методом итераций, либо методом «проб и ошибок». По найденному любым из этих способов собственному значению энергии (значения положительных корней этого уравнения) можно определить собственные значения Y-функции, и соответственно,

; .

Для четных значений n (14.3) запишем граничные условия (14.4) при :

;

.

Разделив эти соотношения, получим трансцендентное уравнение, которое позволит определить собственные значения энергии и Y-функции на четных энергетических уровнях:

.

Поскольку тангенс и котангенс периодические функции, частица в потенциальной яме может иметь лишь дискретные уровни энергии. Чем глубже яма, тем больше уровней энергии разрешены для частицы, причем уровни, которым отвечают четные и нечетные волновые функции, чередуются.

На рис. 14.2 показаны уровни энергии, а на рис. 14.3 – волновые функции, соответствующие первым трем энергетическим уровням для ямы конечной глубины (сплошные линии) и в бесконечно глубокой потенциальной яме (штриховые линии).

В заключение заметим, что общее решение задачи о частице, находящейся в прямоугольной яме конечной глубины, встречается при рассмотрении многих задач атомной физики, например, эмиссии электронов из металлов, радиоактивного распада и т. д.