Оператор Гамильтона различных систем

Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов

.

Поставим в соответствие конкретной системе операторы и :

В декартовой системе координат , .

Здесь n – число точек в системе.

.

- функция от оператора координаты.

Мы рассматриваем - представление, здесь

Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).

Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле

Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.

отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.

.

Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.

.

Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индекс a убирается.

Внутреннее взаимодействие не аддитивно.

Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:

Тогда , или в -представлении, то

,

тогда .

Если материальная точка во внешнем поле:

, ,

Нестационарное поле .

Стационарное поле .

Центральное поле .

Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.

В случае классической механики: .

Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.

Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.

В квантовой механике в -представлении:

,

,

где