Волновое уравнение. Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:

Норма волновой функции:

- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале .

Наложим на - условие ее сохранения во времени. - это физическое требование, поскольку , то также функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на .

Обозначим . Мы знаем, что , таким образом . Тогда само скалярное произведение - чисто мнимое число.

Но - число вещественное. Отсюда можно представить

(19.1)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

Подставим (19.1) в равенство , тогда

- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор - эрмитов: .

Свойства оператора :

В пределе перехода к классической механике: , то , где S – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая

, (19.2)

где - функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переход и (19.2), то: .

Получили волновое уравнение:

- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).

Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.