Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки

Для свободной материальной точки .

, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.

Это трехмерная задача

Оператор Лапласа

Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.

Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде

,

где

Для имеем

.

Обозначим

.

Тогда

Решение этого уравнения

Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.

Мы выбираем движение частицы по направлению оси x. Тогда в силу сохранения импульса имеем .

Для трехмерного случая

Полная волновая функция

(26.1)

Рассмотрим теперь коммутатор

Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда . Из этого следует:

-интеграл движения.

Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.

Найдем собственные значения оператора импульса.

{используем, что , т. е. } =

= .

Тогда собственное значение оператора :

Это первое дебройлевское соотношение.

Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.

Используем, что

Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.