Задача № 22

Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид , где - расстояние электрона до ядра, - первый радиус боровской орбиты. Определите наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.

Решение:

Как известно, квадрат модуля пси-функции определяет плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма. Найдём вероятность нахождения электрона в шаровом слое единичной толщины. Вероятность нахождения электрона в объёме равна: . Теперь в качестве объёма возьмём шаровой слой толщиной , его объём: . Вероятность нахождения электрона в таком шаровом слое равна:

(1)

Отсюда можно заключить, что вероятность нахождения электрона в шаровом слое единичной толщины:

(2)

где . Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра можно определить, если найти значение , при котором функция (2) имеет максимум. Для этого найдём первую производную по от функции (2):

(3)

Приравнивая (3) к нулю, получаем:

(4)

То есть наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно первому боровскому радиусу . На рисунке 1 представлены графики пси-функции основного состояния электрона в атоме водорода, плотности вероятности нахождения электрона в единице объёма и плотности вероятности нахождения электрона в шаровом слое единичной толщины.

Рисунок 1

Ответ: