Задача № 27

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеющими ширину . В каких точках интервала плотность вероятности обнаружения частицы одинакова для основного и второго возбуждённого состояний?

Решение:

Частица находится в потенциальной яме, имеющей вид (рисунок 1):

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области, где потенциальная энергия равна бесконечности, частица находиться не может, поэтому плотность вероятности нахождения частицы, а значит и пси-функция в этих областях () равны нулю. Имея в виду этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

Тогда пси-функция примет вид:

(4)

Учитывая, что , получим:

(5)

Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальной яме заданного вида. Определим коэффициент A в выражении (4), используя условие нормировки:

(6)

Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме:

(7)

Пси-функция основного состояния :

(8)

Значит, плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии:

(9)

Аналогично, для второго возбуждённого :

(10)

(11)

Для того, чтобы узнать, в каких точках интервала плотность вероятности местонахождения одинакова для основного и второго возбуждённого состояний, приравняем выражения (9) и (11):

(12)

Решая это уравнения на интервале , находим решения: .

Графики плотностей вероятностей приведены на рисунке 2:

Рисунок 2

Ответ:

.