Задача № 17

Частица массой движется в потенциальном поле, в котором её потенциальная энергия равна (гармонический осциллятор). Оцените с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию частицы в этом поле.

Решение:

Энергия частицы равняется:

(1)

где - среднее значение энергии частицы, а - неопределённость энергии. Из выражения (1) видно, что минимальное значение энергии частицы, в случае , равняется по порядку величины её неопределённости . В этом случае неопределённость импульса частицы:

(2)

С наибольшей степенью вероятности частица находится в области местонахождения классического осциллятора , где - амплитуда колебаний классического осциллятора, которую определим, решая следующее уравнение:

(3)

где .

Неопределённость частицы в этом потенциальном поле . Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:

(4)

Подставляя в уравнение (4) выражения, полученные для неопределённостей импульса и координаты, получим:

(5)

Это значение соответствует нулевой энергии квантового гармонического осциллятора.

Ответ:

.