Неравенства Гейзенберга как граница применимости классического способа описания

Вернемся теперь к рассуждениям § 2. Мы рассмотрели там примеры (сферическая симметрия системы двух зарядов, интерференция электронных волн), показывающие, что классическое описание неприменимо к микрообъектам, подобным электрону. В то же время мы знаем, что к достаточно крупным (макроскопическим) объектам классическое описание применимо с очень большой точностью. Возникает вопрос: каковы границы применимости и пределы точности классического способа описания объектов, характеризуемого, как мы видели, полным отвлечением от условий наблюдения?

Рассмотрим простейшее явление—движение материальной точки массы т. По классической механике, состояние движения материальной точки для каждого момента времени определяется значениями ее координат х, у, z и составляющих количества движения р_x, p_y, p_z. Реальные возможности измерения положения и количества движения частицы лимитируются квантовыми эффектами. Эти квантовые эффекты проявляются, например, при взаимодействии частицы с фотонами света, облучающего частицу. Здесь существенно, что фотон, характеризуемый волновыми параметрами, является в то же время носителем определенной энергии и количества движения, т. е. носителем свойств частицы Волновыми параметрами являются: частота ν длина волны λ =c/ν и волновой вектор k, дающий направление распространения, причем абсолютная величина его равна | k |= 2π/λ = 2π ν/c. Если обозначить энергию и количество движения фотона соответственно через Е и р, то связь между этими величинами и волновыми параметрами будет иметь вид

E=h ν; p = (h/2π) k (1)

где h — постоянная Планка, равная

h = 6,6·10 ^-27 эрг · сек. (2)

Если ввести угловую частоту ω = 2π ν и новую постоянную

h' = h/2π = 1,5 · 10 ^-27 эрг · сек (2')

то соотношение (1) может быть написано в виде

E = h' ω; р = h' k (1')

Соотношение (1), или (1'), связывает волновые и корпускулярные свойства фотона: правые части его содержат величины ωи k, определяемые из интерференционных явлений, а левые части — Е и р характеризуют фотон как частицу.

Рассматривая различные способы измерения положения и количества движения частицы, Гейзенберг пришел к следующему выводу. Положение частицы может быть, в принципе, измерено путем ее освещения, т. е. путем столкновения ее с фотонами. Но, поскольку фотоны являются носителями количества движения, они способны передавать его частице, вследствие чего количество движения частицы (даже если оно было предварительно измерено) становится в какой-то мере неопределенным. Условия, благоприятные для точного измерения положения частицы (малая длина волны), неблагоприятны для точного измерения ее количества движения (большая отдача при столкновении с фотоном), и наоборот, условия, благоприятные для измерения количества движения, неблагоприятны для измерения положения частицы. Количественно этот результат может быть выражен в виде неравенств

Δ x Δ p _x ≥ h'; ΔyΔ p_y ≥ h'; Δ z Δ p_z ≥ h', (3)

где Δ x, Δy, Δ z означают неопределенности в координатах частицы, а Δ p _x, Δ p_y , Δ p_z —неопределенности в ее количестве движения. Эти неравенства носят название неравенств Гейзенберга. К ним можно присоединить соотношение

Δ t Δ(E' - E) ≥ h' _z (4)

связывающее неопределенность в изменении энергии частицы и неопределенность в моменте времени, когда это изменение произошло. Последнее неравенство можно назвать неравенством Гейзенберга — Бора.

Первоначально величины Δ x, Δ p _x и т. д. толковались как неточности измерения х, р_х и т. д. Такое толкование до известной степени верно, но оно недостаточно глубоко. Самый термин “неточность” как бы предполагает, что существуют и “точные” значения х, р_х, но только они почему-то не могут быть измерены. Это предположение уже явно неверно. На самом деле, невозможность точного измерения есть следствие того, что частица по своей природе не допускает одновременной локализации в координатном и в импульсном пространстве; другими словами, эта невозможность есть следствие корпускулярно-волновой природы электрона. Поэтому лучше употреблять термин “неопределенность”, а не “неточность”.

Аналогичное значение.имеет соотношение Гейзенберга— Бора (4). Оно утверждает, что акт переноса энергии не может быть точно локализован во времени. Отсюда уже как следствие получаются выводы, относящиеся к возможностям измерений (прежде всего к возможности измерить с данной точностью перенос энергии за заданное время).

Неравенства Гейзенберга дают ответ на вопрос, поставленный в начале этого параграфа: они указывают пределы примени-

мости классического способа описания. Но они отнюдь не ставят каких-либо границ для более совершенных способов описания физических явлений и для более полного познания свойств физических объектов.