Основные этапы развития идей квантовой механики и ее математического аппарата

Исторический путь развития идей квантовой механики и ее математического аппарата был довольно сложным. Первыми этапами его были: открытие Планком его формулы для плотности черного излучения (1900) и ее истолкование Эйнштейном на основе понятия о фотонах (1905); формулировка Бором его постулатов о стационарных состояниях атомных систем и о частоте света, испускаемого системой при переходе из одного стационарного состояния в другое (1913); теория атома водорода; установление принципа соответствия Бора. Принцип соответствия Бора заключается в требовании, чтобы в пределе h→0 (точнее, в том случае, когда постоянная Планка h может считаться малой по сравнению с характерными для системы величинами, имеющими размерность действия) непосредственно сравнимые с опытом формулы квантовой теории, например формулы для частот излучаемого света, переходили в соответствующие формулы классической теории.

На основе этих идей в период с 1916 по 1923 г. была разработана “полуклассическая” механика, которая пыталась установить формальные “правила квантования”, т. е. условия для нахождения стационарных состояний атомной системы. Эти условия состояли в указании тех величин (размерности “действия”), которые должны быть “проквантованы”, т. е. приравнены целому кратному постоянной Планка. Через эти величины выражались значения постоянных интегрирования (включая энергию), соответствующие стационарным состояниям. Частоты спектральных линий получались по правилу частот Бора.

Следует отметить, что “полуклассические” правила квантования были применимы лишь к простейшим механическим системам, а именно к тем, которые допускали разделение переменных, соответствующих отдельным степеням свободы. Но главный недостаток “полуклассической” теории состоял в ее внутренней противоречивости: она использовала классические представления (например, непрерывность движения по траектории) наряду с квантовыми (скачкообразный переход из одного стационарного состояние в другое). Согласие полуклассической теории с опытом было весьма ограниченным: даже в тех немногих случаях, где она была применима, получаемые из теории уровни энергии часто оказывались неточными. Исключением являлась теория атома водорода, дававшая весьма точные значения уровней. Коренным противоречием между теорией и опытом была неспособность теории объяснить наблюдаемую на опыте чрезвычайную устойчивость атомных систем Эту коренную трудность старой теории удалось разрешить только на основе тех новых идей и той новой постановки задачи описания физических процессов, о которых мы говорили в предыдущих параграфах

Но решение пришло не сразу. В период между 1923 и 1927 гг. поиски решения велись по разным направлениям.

Один из путей имел исходной точкой принцип соответствия Бора. Гейзенберг рассмотрел классические ряды Фурье для дипольного момента излучающей атомной системы и, следуя Бору, привел в соответствие отдельным членам этих рядов квантовые переходы такой системы. Совокупности коэффициентов Фурье он сопоставил бесконечную матрицу, столбцы и строки которой соответствуют стационарным состояниям системы Такого рода матрицы могут быть построены не только для дипольного момента, но и для других механических величин (координат, количества движения, энергии). Они подчиняются определенным алгебраическим соотношениям, которые позволяют их, в принципе, определить Отсюда, в частности, получаются уровни энергии системы. Эта теория, предложенная Гейзенбергом в 1925 г, носит название матричной механики. Характерной особенностью теории Гейзенберга является сознательный отказ от наглядных представлений и стремление свести дело к правилам вычисления “непосредственно наблюдаемых” величин, в первую очередь частот и интенсивностей спектральных линий.

Как показало дальнейшее развитие, вычислительные правила матричной механики Гейзенберга верны и могут быть обоснованы другим путем. Но излишняя сложность матричной механики и трудность введения на ее основе новых физических понятий взамен классических заставляет предпочесть другие формы выражения квантовых законов.

Другой путь развития квантовой механики исходил из идей о волновом характере материи. Сюда относятся работы де Бройля (1924), впервые сопоставившего частице с данными

количеством движения и энергией волну с определенным волновым вектором и частотой; между теми и другими величинами имеют место соотношения (1). Природа этой волны была де Бройлю неясна; он думал, что это есть некоторое “классическое” поле, подобное электромагнитному. Идея де Бройля о возможности сопоставить частице волну была развита Шредингером, который в 1926 г. предложил рассматривать стационарные состояния атомной системы как собственные колебания некоторого поля Задача определения уровней энергии атомной системы приводится к задаче на собственные значения некоторого линейного оператора (оператора энергии). Затем Шредингер обобщил свое уравнение колебаний на нестационарные состояния Он рассмотрел также соотношение между матричной механикой Гейзенберга и своей теорией, и ему удалось доказать математическую эквивалентность между матрицами Гейзенберга и дифференциальными операторами. “Матричная механика” Гейзенберга и “волновая механика” Шредингера слились тогда в одну теорию — квантовую механику.

Таким путем был создан мощный математический аппарат, позволивший решать множество задач и допускающий дальнейшие обобщения. Из этих обобщений особенно важны те, которые дают формулировку свойств атомных систем, состоящих из одинаковых частиц (о чем мы будем говорить в § 14). Физическое толкование формального аппарата выработалось, однако, лишь постепенно Первым шагом к нему было установление неравенств Гейзенберга и Бора. Этот первый шаг был сделан в 1927 г, а в следующие десятилетия, особенно после дискуссии между Эйнштейном и Бором, происходившей в 1935 г, стали выясняться гносеологические аспекты квантовой механики.

В настоящей работе мы начали изложение именно с этих гносеологических аспектов Поэтому, переходя к математическому аппарату, мы будем иметь возможность сразу же указывать физический смысл вводимых математических понятий. При этом мы не будем пытаться строить аппарат дедуктивным путем, исходя из физических принципов, а возьмем его готовым, в том виде, как он выработался в результате развития квантовой механики Разумеется, мы должны будем ограничиться самым кратким объяснением основных понятий.