Установление показателя политропы по опытным данным

Все, что было изложено ранее относительно политропных процессов, применимо к идеальным газам с постоянной изохорной теплоемкостью – с_v. Для реальных газов изохорная теплоемкость величина переменная, следовательно, политропному процессу реального газа, отвечающему соотношению du/dq=a=const, будет соответствовать переменная теплоемкость с=сv/a. Переменная величина теплоемкости политропного процесса реального газа приводит к сложным зависимостям между термическими и энергетическими параметрами газа в таких процессах. Однако с достаточной для технических расчетов степенью точности для реальных газов можно использовать большинство полученных ранее формул для политропного процесса идеального газа [8], понимая при этом под политропным процессом реального газа процесс, удовлетворяющий уравнению

Pvⁿ=const.

Величина показателя политропы n считается постоянной. Для уменьшения погрешности расчетов изохорную теплоемкость с_v берут как среднюю c_vm в интервале температур рассматриваемого процесса. Используя среднюю изохорную теплоемкость реального газа, можно приближенно рассчитать показатель политропы n. По заданной величине a определяют среднее значение теплоемкости политропного процесса на данном интервале температур как с_m=с_vm/a, и по этой теплоемкости рассчитывается показатель политропы:

, (a)

где с_рm=c_vm+R.

При экспериментальном исследовании процессов изменения состояния газов получают опытные данные серии мгновенных значений термических параметров в виде графического или цифрового материала. Для проведения термодинамического анализа таких процессов необходимо установить, являются ли они политропными. В случае, если процесс соответствует политропному процессу, необходимо определить показатель политропы n. Если весь процесс не может рассматриваться как политропный, то он может быть разделен на участки, которые с достаточной степенью точности могут рассматриваться как политропные, и для каждого из этих участков определяется свое среднее значение показателя политропы n.

Рассмотрим некоторые из методов обработки и анализа опытных данных закономерных газовых процессов.

Оценить, относится газовый процесс к политропному или нет, наиболее просто, изобразив его в логарифмических координатах LnP–Lnv. Прологарифмировав уравнение политропы Pvⁿ=const, получим уравнение

LnP + nLnv = A. (б)

В логарифмической системе координат LnP–Lnv это уравнение прямой линии. Следовательно, нанеся опытные точки процесса в данной системе координат, можно сделать вывод, относится ли данный процесс к политропному. Если все опытные точки ложатся на одну прямую (рис.4.9), то процесс подчиняется уравнению политропы Pvⁿ=const. Если точки не ложатся на одну прямую, то это не политропный процесс. Однако в этом случае может быть проведена аппроксимация опытных точек с заменой действительного процесса политропным. Оценить пригодность такой политропы для расчетов процесса с заданной степенью точности можно по отклонению опытных точек от политропы.

. (в)

На рис.4.10 изображены политропные процессы в логарифмической системе координат с различными показателями политропы: n=0 – изобара, n=1 – изотерма, n=к – адиабата, n=±¥ – изохора.

Определить показатель политропы можно и по параметрам двух точек процесса. В случае если процесс соответствует политропе, для двух его точек можно записать равенство

или .

Прологарифмировав полученное равенство, получим расчетное выражение для показателя политропы:

, ® . (г)

4.5. Качественный и количественный анализ политропных

процессов в Р,v- и T,s- диаграммах

При протекании любого газового процесса происходит энергообмен газа с внешней средой и изменение его параметров. Имея изображение политропного процесса в Р,v- и T,s- диаграммах, всегда можно определить знак теплоты, работы и знак изменения параметров этого процесса, т.е. провести качественный анализ процесса. Для иллюстрации этого на рис. 4.11 и 4.12 через произвольную точку А, определяющую начало процесса в Р,v- и T,s- диаграммах, проведены основные термодинамические процессы: изобара, изохора, изотерма, адиабата.

Во всех процессах, начинающихся в точке А и располагающихся справа от изохоры (n = ±¥), объем увеличивается (dv>0), и, следовательно, работа имеет положительный знак (dl=Pdv>0). В процессах, заканчивающихся слева от изохоры, знаки dv и dl отрицательные.

В процессах, располагающихся справа от адиабаты (n=к), энтропия возрастает (ds>0), и теплота имеет положительный знак (dq=Tds>0), т.е. теплота к газу подводится. В процессах, заканчивающихся с левой стороны от адиабаты, знаки ds и dq отрицательные.

В процессах, заканчивающихся выше изотермы (n=1), температура возрастает (dT>0), и увеличивается внутренняя энергия и энтальпия газа (du=cvdT>0, dh=cpdT>0). В процессах с противоположной стороны от изотермы величины dT, du и dh отрицательные.

Поскольку площадь под процессом в P,v- диаграмме есть работа изменения объема, а в T,s- диаграмме – теплота, то, имея изображение процесса в этих координатах, можно дать и количественную характеристику процесса.

Например, на рис.4.13 изображен политропный процесс идеального газа 12 в Р,v- диаграмме. Площадь под процессом 122'1'1 есть работа изменения объема l. Изменению внутренней энергии процесса 12 соответствует работа любого адиабатного процесса в пределах температур от T₁ до T₂, т.е.

Du=u₂-u₁=l_s=с_v(T₂- T₁)=пл.2аа'2'2. (а)

Проведя адиабату через точку 2 и найдя точку пересечения с ней изотермы T₁=const, получим процесс 2а, площадь под которым есть изменение внутренней энергии u₂-u₁. Сумма двух заштрихованных площадей представляет теплоту процесса

q = u₂ - u₁ + l = пл.12аа'1'1. (б)

Выражение первого закона термодинамики с использованием энтальпии,

® , (в)

позволяет графически представить его составляющие в Р,v- координатах.

Величине – в Р,v- диаграмме соответствует площадь под процессом 12 в проекции на ось давлений 122"1"1.

. (г)

Сумма этих площадей есть теплота процесса q = пл.12aa"1"1.

В T,s- диаграмме площадь под процессом 1-2 (рис. 4.14) представляет теплоту этого процесса q=пл.122'1'1. Эту площадь, согласно первому закону термодинамики, можно представить в виде двух частей:

изменения внутренней энергии – площадь под любой изохорой в интервале температур Т₁ и Т₂:

u₂ - u₁ = q_v = c_v(Т₂ - Т₁) = пл.22'а'а2; (д)

и работы изменения объема, представляющей разность теплоты и изменения внутренней энергии процесса 12:

l = q - (u₂ - u₁) = пл.12аа'1'1. (е)

Изменение энтальпии в процессе 12 можно представить в виде площади под любой изобарой в интервале температур Т₁ и Т₂:

Таким образом, имея изображение политропного процесса газа в Р,v- или T,s- диаграмме, можно оценить величину и знак теплоты, работы изменения объема, изменения внутренней энергии, энтальпии и других термодинамических параметров состояния.