Теоретические упражнения. 1. Доказать утверждения о связи решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений:

1. Доказать утверждения о связи решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений:

а) разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы;

б) сумма решений неоднородной и однородной систем является решением неоднородной системы;

в) общее решение неоднородной системы имеет вид Х = Х ₀ + Х _ч, где Х _ч - частное решение неоднородной системы, Х ₀ - общее решение однородной системы;

г*) каков геометрический смысл последнего утверждения для системы уравнений с тремя неизвестными?

2. Доказать, что для любых различных чисел х ₁, х ₂, х ₃ и любых чисел y ₁, y ₂, y ₃ существует, причем единственный, многочлен y = f (x) степени не больше 2, для которого f (x_i) = y_i, i = 1, 2, 3. Когда степень этого многочлена меньше 2, равна 1, равна 0?

3. Пусть А - прямоугольная матрица. Докажите, что r(A)=1 A = B×C, где В - вектор-столбец, С - вектор-строка (r(А) - ранг матрицы А; В, С ненулевые).

4. Пусть А - прямоугольная матрица. Докажите, что всякое элементарное преобразование строк матрицы А можно представить в виде умножения матрицы А слева на некоторую матрицу Х, а всякое элементарное преобразование столбцов матрицы А - в виде умножения матрицы А справа на некоторую матрицу Y.

5. Действие оператора в n -мерном пространстве задается формулой преобразования координат векторов в некотором базисе:

.

Доказать, что - линейный оператор и найти его матрицу в этом базисе.

6. Пусть - линейный оператор. Доказать, что если - линейно зависимая система, то система тоже линейно зависима. Верно ли обратное?

7. Доказать, что матрицы оператора в двух разных базисах совпадают тогда и только тогда, когда матрица оператора в одном базисе перестановочна с матрицей перехода от этого базиса ко второму.

8. Является ли оператор дифференцирования невырожденным в линейном пространстве L: а) L = P_n;

б) L = L [cos t, sin t ]?

9*. В пространстве всех многочленов заданы операторы и :

;

.

Доказать линейность операторов и проверить, что

.

10. Пусть - собственные векторы оператора , отвечающие различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором этого оператора.

11. Матрица А удовлетворяет условию . Докажите, что всякая подобная ей матрица обладает тем же свойством. Что можно сказать о собственных числах матрицы А? Приведите пример такой недиагональной матрицы.

12. Ненулевая матрица А удовлетворяет условию . Показать, что любая подобная ей матрица удовлетворяет этому условию. Диагонализуема ли матрица А? Каковы ее собственные значения? Привести пример такой матрицы.

13. Функция задается через координаты векторов в некотором базисе n -мерного пространства по формуле:

.

Доказать, что - билинейная форма; найти ее матрицу в этом базисе.

14. Доказать, что симметричная билинейная форма однозначно восстанавливается по порожденной ею квадратичной форме по формуле:

.

15. Доказать, что если ненулевые векторы евклидова пространства попарно ортогональны, то они линейно независимы.

16. Доказать, что в евклидовом пространстве справедливо неравенство треугольника: . Когда оно превращается в равенство?

17*. Доказать, что если - линейный оператор в n -мерном пространстве,

имеющий n различных собственных значений, и , то обладает базисом из собственных векторов.

18*. Пусть линейный оператор удовлетворяет условию . Доказать, что обратим, и выразить через .

19*. Пусть С - невырожденная матрица. Доказать, что квадратичная форма, заданная в некотором базисе матрицей В = С ^Т С (см. упр.10), положительно определена.

20*. Пусть и - линейные операторы в конечномерном пространстве L такие, что . Доказать, что обратим, и найти . (Указание: вопрос сводится к аналогичному вопросу для квадратных матриц.) Верно ли аналогичное утверждение в бесконечномерном пространстве?