Практические задания

Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для однородной системы уравнений.

№ вар.	Система уравнений
1, 20
3, 22
5, 24
7, 26
9, 28
11, 30
13, 17
15, 19
2, 21
4, 23
6, 25
8, 27
10, 29
12, 16
14, 18

Задача 2*. Найти общее решение в зависимости от значения параметра l. При каких значениях l система допускает решение с помощью обратной матрицы?

№ вар	Система уравнений

Задача 3. Линейный оператор определяется действием отображения a на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.

а) Найти матрицу оператора в подходящем базисе пространства , а затем в каноническом базисе . б) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1, 0, 0) под действием отображения a?

Задача 4. а) Доказать, что оператор является линейным оператором в пространстве многочленов степени не выше n.

б) Найти его матрицу в каноническом базисе.

в) Существует ли обратный оператор? Если да, найдите его матрицу.

г) Опишите ядро оператора , т. е. множество:

.

№ вар.	n
1, 22
2, 23
3, 24
4, 25
5, 26
6, 27
7, 28
8, 29
9, 30
10, 16
11, 17
12, 18
13, 19
14, 20
15, 21

Задача 5. Пусть А - матрица оператора из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы А. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора .

Задача 6. Оператор действует на матрицы, образующие линейное подпространство М в пространстве матриц второго порядка.

а) Доказать, что - линейный оператор в М.

б) Найти матрицу А оператора в каком-нибудь базисе пространства М.

в) Найти собственные значения и собственные векторы оператора (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).

г) Доказать, что - оператор простого типа, описать его действие в собственном базисе.

№ вар.			B
1, 16	y = u
2, 17	y = u
3, 18	x + v = 0
4, 19	x + v = 0
5, 20	x + y + u + v = 0
6, 21	x - y + u + v = 0
7, 22	x + y - u - v = 0
8, 23	x - 2 y - u - v = 0
9, 24	y = u
10, 25	y = u
11, 26	x + v = 0
12, 27	x + y + u + v = 0
13, 28	x + y + 2 u + v = 0
14, 29	x + y + 2 u - v = 0
15, 30	x + y - v = 0

Задача 7. В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса заданы координатами в базисе .

а) Найдите матрицу Грама скалярного произведения в этом базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.

б) Ортогонализуйте базис S. Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:

1) выписав координаты векторов из P в каноническом

базисе ;

2) убедившись, что преобразование матрицы Грамма

при переходе от базиса S к базису P (по формуле ) приводит к единичной матрице.

№ вар.	1, 23	2, 24	3, 25
	1 -1 1 2 1 0 0 1 1	1 0 1 1 1 -1 2 -1 0	1 -1 0 1 1 1 1 0 2
№ вар.	4, 26	5, 27	6, 28
	1 0 2 2 1 1 1 1 0	0 -1 2 1 1 -1 2 0 1	1 1 -1 2 0 1 1 1 2
№ вар.	7, 29	8, 30	9, 16
	2 0 1 1 1 -1 1 2 1	-1 1 1 1 1 -1 2 0 1	2 0 1 1 1 1 -2 0 1
№ вар.	10, 17	11, 18	12, 19
	1 1 0 2 0 1 1 1 1	1 0 -1 2 1 1 1 1 0	2 -1 0 1 1 1 -1 0 1
№ вар.	13, 20	14, 21	15, 22
	1 0 2 1 1 1 -1 2 0	-1 1 0 -2 1 1 1 0 1	1 1 -1 1 1 1 2 1 0

Задача 8. Задана квадратичная форма.

а) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующее преобразование переменных.

б) Привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.

в) Проверить закон инерции квадратичной формы на примерах преобразований, полученных в пунктах а), б).

№вар.	Квадратичная форма

Контрольные вопросы