Теория систем линейных уравнений

5.1. Что такое ранг матрицы? Как он связан с рангом системы ее строк (столбцов)? Чему равен ранг матрицы, все элементы которой одинаковы?

5.2. Каков критерий равенства определителя нулю?

5.3. Что происходит с рангом матрицы: а) при ее транспонировании (и почему?); б) при элементарных преобразованиях?

5.4. Как выглядит блочно-треугольная (ступнчатая) матрица? Чему равен ее ранг?

5.5. Что такое матрица системы; расширенная матрица? Что означают слова: записать систему в матричной форме? Как по расширенной матрице восстановить исходную систему уравнений?

5.6. Что означает совместность системы? Какие системы называются эквивалентными? Каков критерий совместности системы? Когда решение системы единственно?

5.7. Всегда ли совместна однородная система? Каков критерий существования ненулевых решений у однородной системы? Выделите случай квадратной системы.

5.8. Образует ли множество решений однородной системы линейное пространство? А множество решений неоднородной системы? Объясните результат. Какова связь решений однородной и неоднородной систем?

5.9. Какова размерность пространства решений однородной системы? Что называется фундаментальной системой решений (ФСР)? Почему понятие ФСР существует только для однородной системы?

5.10. Что называется общим решением однородной системы и какова его структура? Пусть дана ФСР некоторой однородной системы:

.

Выпишите все ее решения. Укажите другую ФСР этой системы.

5.11. Все решения однородной системы линейных уравнений могут быть записаны в виде: x ₁ = s + t, x ₂ = s - 2 t, x ₃ = 3, x ₄ = t, x ₅ = s + 2 t, где s, t Î R. Укажите ее ФСР. Сколько уравнений могло быть в системе?

5.12. Все решения неоднородной системы линейных уравнений могут быть записаны в виде x = 1 + s, y = 2 s - 1, z = s. Опишите все решения соответствующей однородной системы и приведите пример ее ФСР.

5.13. Какие способы решения систем линейных уравнений Вы знаете? Всегда ли они применимы?