Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y ₀(x)соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y ₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Если общее решение y ₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C ₁ и C ₂ будем рассматривать вспомогательные функции C ₁(x) и C ₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f (x).

Неизвестные функции C ₁(x) и C ₂(x) определяются из системы двух уравнений:

10. Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C − произвольная постоянная.

Пусть функции P (x,y) и Q (x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

11.