Другие критерии согласия. Критерии согласия для распределения Пуассона

Еще одна возможность для проверки согласия, которой тоже часто пользуются. Состоит она в том, что проверяют не исходную гипотезу целиком, а какие-либо ее последствие, которое считается важным. Для нормальной случайной величины ξ коэффициент асимметрии равен нулю.

(5.1)

Поэтому коэффициент асимметрии выборки

(5.2)

тоже должен быть близок к нулю, если эта выборка – нормальная.

Чтобы судить о том, значимо ли отличается от нуля выборочное значение (5.2), и тем самым, не нарушено ли обязательное для нормального закона соотношение (5.1), надо знать, как распределена статистика (5.2) при гипотезе. Для малых выборок исследование подобных вопросов возможно далеко не всегда и, во всяком случае, требует особого рассмотрения в каждом случае. Иное дело большие выборки.

Есть стандартная методика, которая позволяет справится с этой задачей. Покажем ее действие на другом примере, поскольку о нормальном законе говорилось лишком много. Посмотрим, как можно проверить согласие выборки с распределением Пуассона. Для случайной величины ξ, распределенной по Пуассону

Dξ/Мξ = 1, (5.3)

так как для распределения Пуассона Dξ = Мξ = λ, где λ – параметр распределения. Поэтому если выборка х₁, …, х_п извлечена из пуассоновской генеральной совокупности, то отношение должно быть близким к 1. Ниже пойдет речь о том как проверить.

(5.4)

Но сначала одно замечание общего характера: такие проверки никак не могут доказать соответствия выборки теоретическому закону даже при неограниченном возрастании числа наблюдений. Причина в том, что соотношение типа (5.1) и (5.3) не являются характеристиками: даже если (5.1) справедливо, оно не означает, что ξ непременно распределено нормально. Это свойство необходимо для нормальности распределения, но не достаточно. То же самое можно сказать о (5.3): это необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы распределение было пуассоновским. После этого обсуждения обратимся к изучению свойств статистики (5.4). объем выборки п будет считать большим.

Воспользуемся тем, что при n → ∞ случайные величины S² – Dξ и х – Мξ стремятся к 0 (закон больших чисел). Поэтому для пуассоновской выборки:

Многоточие заменяет случайную величину, убывающую как n^-1. раскрыв скобки, получаем, что:

Исследуем при n → ∞ поведение выражения

главной случайной составляющей дроби

Без ущерба для точности вывода вместо S² можно взять случайную величину:

Тогда вместо S² – х появляется:

В силу центральной предельной теоремы эта сумма независимых и одинаково распределенных случайных величин распределена приблизительно нормально, с математическим ожиданием:

М[(ξ – λ)² – ξ] = 0 и дисперсией

Для вычисления последнего выражения надо знать, что четвертый и третий центральные моменты пуассоновского распределения равны соответственно

После этого подсчет дает, что D[(ξ – λ)² – ξ] = 2λ². Следовательно, статистика (5.4) распределена приблизительно по закону N(1, 2λ²/ n).

Зная распределение статистики (5.4) в случае справедливости нулевой гипотезы о принадлежности выборки к распределению Пуассона, можно указать пределы, в которые с вероятностью приблизительно, скажем, 0.99 должно попадать отношение в случае справедливости гипотезы:

(5.5)

где, и₀ обозначает квантиль уровня α стандартного нормального распределения.

Если мы хотим использовать это соотношение для практической проверки гипотезы о пуассоновском распределении выборки, надо заметить неизвестное значение λ его оценкой по выборке. Для больших выборок наилучшей является оценка наибольшего правдоподобия. Которая для пуассоновского распределения равна х. следовательно, надо проверить по выборке, выполняется ли соотношение:

(5.6)

Если это неравенство не выполняется, гипотезу о том, что выборка извлечена из распределения Пуассона, следует отвергать на уровне значимости (примерно) 0.01. понятно, что при другом уровне значимости в правой части (5.5) будет стоять другая квантиль и поэтому правая часть (5.6) тоже будет другой.

Поскольку этот способ проверки приближенный, то чем большего объема окажется выборка в нашем распоряжении, тем точнее будет соблюден номинальный уровень значимости. К сожалению, трудно сказать определенно, начиная с каждого n результат такой проверки заслуживает доверия; по-видимому, для этого требуется не менее сотни наблюдений.

Подобным образом может быть проверено любое свойство теоретического распределения, если только мы располагаем достаточно большой выборкой. Главное здесь – выбор самого свойства. Эта характеристика распределения должна быть существенна для дальнейшего. Как правило, знания о типе распределения нужны для того, чтобы на их основе сделать по выборочным данным те или инее выводы. Нередко оказывается, что для справедливости этих выводов особенно важны лишь ее которые свойства теоретического закона распределения. Именно эти свойства и надо в первую очередь проверить.