Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

Представление комплексных чисел в тригонометрической форме применяется:

а) в радиотехнике – для анализа прохождения электрического сигнала через радиотехническую цепь;

б) в системах автоматики – для определения устойчивости автоматических систем;

в) в электротехнике – для расчета целей.

Пусть задано комплексное число .

Рис. 2.1

По теореме Пифагора ,

где – модуль комплексного числа .

– в технической литературе может быть такое обозначение модуля.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующая этому числу

.

Чтобы найти конкретное комплексное число необходимо задать угол .

Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором .

Величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной – по часовой.

- тригонометрическая форма комплексного числа.

- показательная форма комплексного числа.

Данная форма вытекает из формулы Эйлера

Эта система имеет бесчисленное множество решений вида

,

где - любое целое число.

Таким образом, любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Если , то мы получим главное значение аргумента , которое и будем называть аргументом числа.

Для нахождения аргумента комплексного числа пользуемся формулой

Аргумент зависит от действительной части комплексного числа.

Если то если то

Пример 2.1

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

Так как то

Пример 2.2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

.

Так как , то ,

.

Пример 2.3

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

, ,

.

Так как , то ,

.