Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Неопределенности . Если функции f (x) иф(x) дифференцируемые в окрестности точки a и являются бесконечно малыми (бесконечно большими) при , то из существования предела следует существование , причем

(4).

Раскрытие неопределенностей по формуле (4) называется правилом Лопиталя.

Пример 1. Вычислить .

Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, мы имеем неопределенность . Рассмотрим предел отношения производных:

.

По формуле (4) данный предел тоже равен .

Пример 2. , т.к. при .

Замечание 1. В некоторых случаях, после применения формулы (4), отношение производных может оказаться неопределенностью . Тогда правило Лопиталя применяют еще раз, т.е. переходят к пределу отношения производных второго порядка.

Замечание 2. В целях сокращения вычислений рекомендуется правило Лопиталя применять в сочетании с другими приемами раскрытия неопределенностей.

Пример 3.

.

Получили предел произведения двух функций. Вычислим их отдельно. Предел второго сомножителя приводит к неопределенности . Чтобы ее раскрыть, применим правило Лопиталя повторно:

.

По теореме о пределе произведения исходный предел равен 0.

Пример 4. Вычислить .

Применение правила Лопиталя приводит к сложному выражению. Проще поступить так. При , , тогда .

Тогда

.

Таким образом, в данном примере мы использовали эквивалентность б.м. и повторное применение правила Лопиталя.

Неопределенности . Для применения правила Лопиталя к раскрытию этих неопределенностей путем тождественных преобразований необходимо их свести к неопределенности . Здесь можно использовать такие же приемы, как в пункте 3.

Пример 5. .

Решение. Неопределенность . Данное выражение представим в виде и вычислим отдельно предел показателя степени:

.

Тогда .

Пример 6.

Решение. Есть неопределенность , т.к. при . Рассмотрим логарифм данного выражения:

.

При , поэтому при . Используя эту эквивалентность, получим

.

Тогда .

Заключение. Мы рассмотрели некоторые приемы вычисления пределов функций одной переменной. Основное внимание при этом было уделено раскрытию неопределенностей различными методами. Существуют и другие, более тонкие методы раскрытия неопределенностей, не рассмотренные в настоящей работе. С ними вы сможете ознакомиться по книгам, список которых приведен выше.

Мы, считаем нужным отметить, что для овладения практикой вычисления пределов необходимо значительное количество упражнений. С этой целью к методическим указаниям приложены варианты контрольных работ. Задачи каждого варианта решить при следующих условиях:

1 – вычислить пределы с помощью алгебраических преобразований;

2 – вычислить пределы с помощью замечательных пределов;

3 – найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые;

4 – раскрыть неопределенности по правилам Лопиталя (при необходимости использовать другие приемы).