Простейшие приемы раскрытия неопределенностей

Читатель, знакомый с понятием неопределенности, обратил внимание на то, что почти все примеры, рассмотренные выше, относятся именно к этому случаю. Это объясняется тем, что основные сложности при вычислении пределов как раз связаны с раскрытием неопределенностей; пределы, вычисляемые по формуле (1) или с использованием арифметических операций над пределами, с точки зрения совершенства техники вычисления пределов, интереса не представляют.

Рассмотрим сначала неопределенности .

Напомним, что неопределенностью называется , когда и являются, бесконечно малыми при (а может быть конечным числом, или ). Неопределенности или это или , когда обе функции и стремятся к бесконечности при .

Заметим, что если одна из функций при имеет конечный предел, отношение не будет неопределенностью. Например, если .

Условно это обстоятельство записывают так: . Аналогичный смысл имеют и следующие равенства: .

Пример 1. Вычислить .

Решение. При . Имеем неопределенность . Для ее раскрытия достаточно разложить числитель и знаменатель на множители:

.

Пример 2.Вычислить .

Решение. Значение не принадлежит области определения данной функции, причем при . Имеем неопределенность . Введем новую переменную . При . Тогда

= . Здесь мы воспользовались тем, что

Пример 3.Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Применим следующие преобразования: и вычислим предел каждого сомножителя отдельно (см.п.2) .

(воспользовались равенством );

.

По теореме о пределах произведения искомой предел равен

.

Пример 5.

.

Пример 6.Вычислить .

Решение. Неопределенность , т.к.

при , при .

Приводя к общему знаменателю, получим:

.

Перейдем к рассмотрению неопределенностей других видов.

Неопределенность . Неопределенность этого вида возникает при вычислении , когда , при . При помощи преобразований или можем перейти к неопределенности или .

Пример 7. =

.

Пример 8.Вычислить .

Решение. Т.к. . При имеем . Поэтому

.

Неопределенность . Говорят, что есть неопределенность . Если Данная неопределенность иногда сводится ко второму замечательному пределу. Для этогооснование необходимо представить в виде где б.м. при В других случаях неопределенность этого вида может быть сведена к неопределенности путем преобразования:

(2)

Пример 9.

Решение. Основание при следовательно, имеем неопределенность Сведем ее ко второму замечательному пределу. Для этого заметим, что

Тогда

Обозначим выражение видим, что при переменная тогда

Пример 10.

Решение. В данном примере тоже имеем неопределенность .

Воспользуемся формулой (2):

Неопределенность . Данная неопределенность связана с пределами вида , когда функции и являются б.м. при . Раскрытие ее осуществляется по формуле

.

Пример 11. .

Решение. Выражение при , тогда . Таким образом, имеем неопределенность . Раскроем вышеуказанным способом:

По такой же схеме раскрывается и неопределенность .

В целях упрощения соответствующих выкладок рекомендуется выражения предварительно прологарифмировать.

Пусть , тогда . Предел представляет собой неопределенность уже изученного вида . Допустим, что одним из указанных выше приемов нам удалось ее раскрыть и мы получили конечный предел или . Тогда будет, соответственно, равен или Точно также можно поступить и в случае неопределенностей .

Пример 12. .

Решение. Неопределенность вида . Найдем сначала предел логарифма данного выражения:

Следовательно, исходный предел равен