Применение эквивалентных бесконечно малых

Бесконечно малые и называются эквивалентными при , если Обозначается эквивалентность так: . Применение эквивалентных б.м. является очень эффективным способом раскрытия неопределенностей. В основе следующая теорема.

Теорема. Пусть функции и являются эквивалентными при . Если существует конечный или бесконечный , то существует , причем

. (3)

Из этой теоремы следует, что если при , , то ;

.

Эти равенства означают, что при вычислении пределов множители в числителе или в знаменателе можно заменить на эквивалентные

Приведем некоторые пары эквивалентных бесконечно малых величин

; ;

; ;

; .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Функции являются б.м. при , заменим их эквивалентными б.м.: , при .

Тогда

.

При помощи замены б.м. на эквивалентную удается очень быстро преодолеть те искусственные, иногда громоздкие преобразования, которые нами использовались при раскрытии неопределенностей другими способами. Чтобы убедиться в этом, вернемся к примеру 3, п.3 и вычислим его с помощью эквивалентных б.м.. При , поэтому ; бесконечно малая . Тогда

.

Преимущества использования бесконечно малых очевидны.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Обозначим и заметим, что при новая переменная y тоже . Тогда при , т.е. . При б.м. . Тогда

.

Метод замены переменной, использованный в данном примере, значительно расширяет возможности применения эквивалентных б.м. величин.

Замечание. Не рекомендуется заменять под знаком предела слагаемые на эквивалентные им величины. Например, при ; . Если перейти к эквивалентным функциям в примере

, то получим .

В действительности все обстоит по-другому:

.

Рассмотренные примеры связаны с неопределенностью , но эквивалентные б.м. можно использовать при раскрытии и других неопределенностей.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Неопределенность . Применим следующие преобразования:

.

При , , тогда . В свою очередь, . Поэтому

.

Пример 4. Вычислить , где - произвольное положительное число.

При данный предел можно вычислить путем умножения и деления на сопряженное выражение. Для других значений такой метод уже не проходит. Используя эквивалентные б.м. этот предел можно вычислить без особого труда. Сначала применим дополнительные преобразования:

.

Т.к. при , то .

Тогда

.

В зависимости от возможных значений показателя степени функции ведет себя по-разному при . Если , то . Тогда искомый предел равен 0. Если , то он равен , и наконец, если , то , предел равен .