О. Необхідні умови існування екстремуму

Теорема 11.1. Якщо в точці екстремуму M_о (x_о ,y_о ) функція z=f(x,y) має перші частинні похідні, то вони в цій точці перетворюються в нуль, тобто

(11.1)

Доведення. Із означення екстремуму випливає, що функція однієї змінної z=f(x,y_о ) при фіксованому y=y_о має екстремум при x=x_о. Згідно необхідної умови екстремуму для функції однієї змінної маємо

Аналогічно приходимо до умови

Геометрично це означає, що дотичні прямі, проведені в точці екстремуму до лінії z=f(x,y_о) і z=f(x_о,y), паралельні відповідним координатним осям оХ і оY (див. рис.11.1). Однак у випадку сідлової поверхні (див. рис.11.2) паралельність осям описаних дотичних в точці поверхні не свідчить про те, що це точка екстремуму. Тому умови (11.1) є тільки необхідними, але не достатніми.

Рис.11.1. Рис.11.2.

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують, називаються критичними точками функції. Далі установимо

достатні умови екстремуму, яким задовільняє функція в критичних точках.